Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 9

Ряд Лорана

 


Пусть функция f(z) аналитична в кольце  и непрерывна на границе. Точка z – внутренняя точка кольца. Проведем разрезы как показано на втором рисунке. В результате область аналитичности функции  становится односвязной, ограниченной контуром   Найдём интеграл: .

По теореме Коши: или

 

Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.

Совершим предельный переход:

Далее

так как . Далее найдем

 

где

Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся. Однако в данном случае коэффициенты  не являются коэффициентами ряда Тейлора. Таким образом,

Найдем второе слагаемое

Пусть m= - n, тогда n= - m:

Так как функция  голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:

то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим

Второе слагаемое будет иметь такое разложение:

Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:

  - ряд Лорана.

Часть ряда Лорана  (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге . Вторая часть  (главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга . Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце .

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения