Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 8

Ряд Тейлора

Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t.

Сравним это выражение с геометрической прогрессией:

Получаем

  - формула Тейлора, где

Пусть L – граница окружности радиусом R с центром в точке а, z – некоторая точка внутри круга.

где М – максимум модуля функции f(z) в круге.

Так как <1, то при  числитель  и поэтому при . Таким образом, доказана

Теорема

Пусть функция f(z) является голоморфной в некотором круге с радиусом R и центром в точке а и непрерывна на его границе. Тогда для этой функции справедливо разложение в ряд Тейлора:

Определение: функция, разложимая в ряд Тейлора в окрестности точки a, называется аналитической в этой точке. Если функция разложима в ряд Тейлора во всех точках области D, она называется аналитической в области D.

По доказанному выше, всякая голоморфная функция одновременно является аналитической. Поэтому ниже эти термины используются как синонимы.

Теорема единственности разложения в ряд Тейлора

Степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство

Исходное соотношение

Пусть R – радиус сходимости, такой, что для всех граничных точек правая часть сходится. В этом случае ряд будет сходиться и внутри круга, и его сумма, по ранее доказанному, будет голоморфной функцией.

Пусть z=a. Тогда:

Некоторые основные элементарные функции (продолжение)

Определение: экспонента, синус, косинус, гиперболические синус и косинус определяются следующими разложениями:

Эти ряды получаются из соответствующих рядов для функций действительной переменной заменой действительного аргумента x на комплексный аргумент z. Все введенные функции являются аналитическими на всей комплексной плоскости.

Положим , где  - действительное число, и получим

формула Эйлера.

С использованием формулы Эйлера комплексное число можно представить в экспоненциальной форме

Можно получить и другие формулы, например, следующую, которая устанавливает связь между гиперболическим и тригонометрическим синусами

 

Свойства экспоненциальной функции

Лемма

Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению  при условии , то для нее справедливо соотношение .

Доказательство

Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция  - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным  в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях  будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству

  при 

Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по   и  для левой и правой частей

Аналогично

Далее

Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.

Теорема

Для экспоненциальной функции справедлива формула .

Доказательство

Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие

Пусть , тогда

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения