Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 8

Ряд Тейлора

Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t.

Сравним это выражение с геометрической прогрессией:

Получаем

  - формула Тейлора, где

Пусть L – граница окружности радиусом R с центром в точке а, z – некоторая точка внутри круга.

где М – максимум модуля функции f(z) в круге.

Так как <1, то при  числитель  и поэтому при . Таким образом, доказана

Теорема

Пусть функция f(z) является голоморфной в некотором круге с радиусом R и центром в точке а и непрерывна на его границе. Тогда для этой функции справедливо разложение в ряд Тейлора:

Определение: функция, разложимая в ряд Тейлора в окрестности точки a, называется аналитической в этой точке. Если функция разложима в ряд Тейлора во всех точках области D, она называется аналитической в области D.

По доказанному выше, всякая голоморфная функция одновременно является аналитической. Поэтому ниже эти термины используются как синонимы.

Теорема единственности разложения в ряд Тейлора

Степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство

Исходное соотношение

Пусть R – радиус сходимости, такой, что для всех граничных точек правая часть сходится. В этом случае ряд будет сходиться и внутри круга, и его сумма, по ранее доказанному, будет голоморфной функцией.

Пусть z=a. Тогда:

Некоторые основные элементарные функции (продолжение)

Определение: экспонента, синус, косинус, гиперболические синус и косинус определяются следующими разложениями:

Эти ряды получаются из соответствующих рядов для функций действительной переменной заменой действительного аргумента x на комплексный аргумент z. Все введенные функции являются аналитическими на всей комплексной плоскости.

Положим , где  - действительное число, и получим

формула Эйлера.

С использованием формулы Эйлера комплексное число можно представить в экспоненциальной форме

Можно получить и другие формулы, например, следующую, которая устанавливает связь между гиперболическим и тригонометрическим синусами

 

Свойства экспоненциальной функции

Лемма

Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению  при условии , то для нее справедливо соотношение .

Доказательство

Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция  - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным  в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях  будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству

  при 

Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по   и  для левой и правой частей

Аналогично

Далее

Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.

Теорема

Для экспоненциальной функции справедлива формула .

Доказательство

Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие

Пусть , тогда

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения