Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 5

Теорема Коши для многосвязных областей

Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области  содержится область , ограниченная контуром Г.

 


Требуется, как и выше, найти контурный интеграл

Выберем произвольную точку А на L и соединим её с точкой В на Г. По отрезку АВ выполним математический разрез (разрез, не имеющий ширины), как показано на рисунке справа. Точка А совпадает с точкой , а В – с . Разрезанная таким образом область превращается в односвязную с граничным контуром .

Будем двигаться так (вдоль контура): . В этом случае разобранная выше теорема Коши дает:

.

.

В общем случае, когда область D есть -связная область, то есть содержит внутри себя n областей, получается:

Теорема Морера

Пусть  - функция, непрерывная в области D. Если для любого замкнутого непересекающегося контура, целиком лежащего в области D, справедливо равенство , то функция  голоморфна в области D.

Доказательство:

откуда следуют условия Коши-Римана.

Интеграл Коши

Рассмотрим некоторую функцию f(z), голоморфную в односвязной области D. На контуре L функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Пусть  - некоторая внутренняя точка области .

 


При этом справедлива формула  - формула Коши.

Доказательство:

Рассмотрим функцию  - голоморфную в области D за исключением точки   с координатой , где она не определена.

Окружим точку М(z) контуром Г. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей получим

Так как функция  голоморфна повсюду, кроме точки z, то контур Г – произвольный. Нужно лишь, чтобы он охватывал точку M и лежал внутри контура . В качестве Г возьмём окружность, радиус которой стремится к нулю.

Введём локальную систему координат с центром в точке M. Пусть

. Выполним предельный переход

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения