Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 4

Интегрирование функций комплексного переменного

Пусть в некоторой области  на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г). Предположим, что на этом контуре известна функция комплексного переменного F(t), где t – комплексная переменная, меняющаяся вдоль Г.

 


Рассмотрим, как в общем случае задается эта функция. Запишем уравнение контура Г в виде:

С использованием формул

найдем

Рассмотрим некоторую произвольную функцию. Тогда для точек контура Г можно записать:

В общем случае функция  не удовлетворяет условиям Коши-Римана, и вид функции F(t) зависит от того, где проходит контур Г. Если же функция  голоморфна (удовлетворяет условиям Коши-Римана) в области  и, следовательно, представима в виде , то .

Определим интеграл от функции комплексного переменного формулой

Интеграл от функции комплексной переменной сводится к двум криволинейным интегралам от двух действительных функций u и v.

Связность области

Рассмотрим на плоскости xOy некоторую область , ограниченную замкнутым непересекающимся контуром . Если этот контур можно, деформируя его, стянуть в точку, то такая область называется односвязной, в противном случае – многосвязной.

Теорема Коши

Пусть в односвязной области задана голоморфная функция . Тогда интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования (если тот не выходит за пределы области ).

Доказательство:

Рассмотрим интеграл:

Для того чтобы выражение в первых скобках было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы  и .

Таким образом, выполнение условий Коши-Римана является необходимым и достаточным условием того, что функция является полным дифференциалом.

Следствия теоремы:

, где f(t) – голоморфная функция. , t – координаты точек контура Г. Из теоремы Коши следует, что функция  также голоморфная, причем, .

2. f(z) – функция, голоморфная в некоторой области D.

Пусть Г замкнут. Тогда интеграл вдоль Г

Доказательство:

Выберем на Г две точки А и В.

Рассмотрим случай, когда контур Г совпадает с граничным контуром области D, причем на этом контуре (контуре L) функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Легко показать, что и в этом случае теорема Коши остается справедливой. Для доказательства проведем контур Г так, чтобы он лежал целиком в области D не касаясь граничного контура. Для этого контура выведенная формула безусловно справедлива. Выберем внутри контура Г некоторую точку и будем проводить из нее лучи в произвольных направлениях. Каждый луч пересечет вначале контур Г (обозначим точку пересечения, например, ), затем контур L (в точке ). Для каждого луча расстояние  будет различным. Пусть . Так как контур Г можно провести сколь угодно близко к контуру L, то можно совершить предельный переход . Так как подынтегральная функция изменяется непрерывно, значение интеграла также будет изменяться непрерывно, что доказывает справедливость теоремы Коши в данном случае.

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения