Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Пример. Вычислить определитель  двумя способами.

первый способ.  = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.  = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2  + 5(-1)2+2  +(-1)3+2   = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

 а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1

  а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2

 а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

 а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0

 а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0

  а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где

Δх1=  ; Δх2= ; Δх3= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

Вычислим определитель системы ∆ =  = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.

По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.

Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

 ∆х = = 0, ∆у =  = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения