Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Пример. Вычислить определитель  двумя способами.

первый способ.  = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.  = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2  + 5(-1)2+2  +(-1)3+2   = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

 а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1

  а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2

 а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

 а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0

 а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0

  а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где

Δх1=  ; Δх2= ; Δх3= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

Вычислим определитель системы ∆ =  = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.

По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.

Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

 ∆х = = 0, ∆у =  = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Курс электрических цепей