Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 16

Нахождение оригинала по изображению

Пусть на комплексной плоскости определена некоторая аналитическая функция F(p). В бесконечно удалённой точке F(p)=0. Функция F(p) имеет только точечные особенности (изолированные особые точки), причём существует такая точка , что все особые точки лежат левее прямой x=a. При выполнении этих условий эта функция может рассматриваться как изображение некоторого оригинала f(t).

Для вычисления функции f(t) применим теорему вычетов. Дополним отрезок интегрирования до замкнутого контура.

Покажем, что интеграл вдоль дуги окружности  при  стремится к нулю:

При  получается

Рассмотрим интеграл:

Получим

(использована теорема о среднем: ).

По условию, при . Тогда всё выражение . Аналогичный результат получается при рассмотрении третьего интеграла. Приходим к выражению

Ко второму интегралу применим теорему вычетов:

где n – количество особых точек.

Нахождение изображений

Используется интегрирование по частям

  - изображение производной выражается через изображение самой функции и ее значение при . С помощью интегрирования по частям изображения второй производной сводится к изображению первой и т. д. Таким образом, изображение производной любого порядка выражается через изображение самой функции и известные значения функции и ее производных при .

Литература для самостоятельного изучения. 1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39. 2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г. 3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285. 4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения