Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 15

Операционное исчисление

Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)

 

Обозначим  - оператор дифференцирования, и получим:

- алгебраическое уравнение. Методы, в которых для решения задач используются алгебраические действия с операторами, носят название операционных. Ниже рассматривается наиболее распространенный операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

  - преобразование Лапласа.

где p – комплексный параметр.

Условия, которым должна удовлетворять функция :

1) условие Гельдера ;

2)

3)

Функция  называется оригиналом, а функция комплексной переменной  - изображением.

Теорема

Оригинал определяется по известному изображению формулой 

 

Доказательство

Отметим, что интеграл в правой части равенства - сингулярный.

Рассмотрим вычисление сингулярного интеграла

Выражение для I преобразуется к виду

так как функция  равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Для дальнейшего рассмотрим функцию

Запишем выражение:

При   величина s остается конечной. Далее запишем

где

Запись t+0 означает, что аргумент функции , оставаясь всё время >t.

Интеграл преобразуется к виду

При любом конечном

Вычислим интеграл

Введем вспомогательную функцию

  и найдем контурный интеграл

Делая замену переменных , получим:

Так как подынтегральная функция – четная, то

Получим

что требовалось доказать.

Литература для самостоятельного изучения. 1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39. 2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г. 3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285. 4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения