Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Лекция 15

Операционное исчисление

Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)

 

Обозначим  - оператор дифференцирования, и получим:

- алгебраическое уравнение. Методы, в которых для решения задач используются алгебраические действия с операторами, носят название операционных. Ниже рассматривается наиболее распространенный операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

  - преобразование Лапласа.

где p – комплексный параметр.

Условия, которым должна удовлетворять функция :

1) условие Гельдера ;

2)

3)

Функция  называется оригиналом, а функция комплексной переменной  - изображением.

Теорема

Оригинал определяется по известному изображению формулой 

 

Доказательство

Отметим, что интеграл в правой части равенства - сингулярный.

Рассмотрим вычисление сингулярного интеграла

Выражение для I преобразуется к виду

так как функция  равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Для дальнейшего рассмотрим функцию

Запишем выражение:

При   величина s остается конечной. Далее запишем

где

Запись t+0 означает, что аргумент функции , оставаясь всё время >t.

Интеграл преобразуется к виду

При любом конечном

Вычислим интеграл

Введем вспомогательную функцию

  и найдем контурный интеграл

Делая замену переменных , получим:

Так как подынтегральная функция – четная, то

Получим

что требовалось доказать.

Литература для самостоятельного изучения. 1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39. 2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г. 3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285. 4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.

Курс электрических цепей