Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Лекция 13

Сингулярный интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :

Так как  - произвольное положительное число, то предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Рассмотрим вычисление того же интеграла при условии

Значение несобственного интеграла при  называют главным значением сингулярного (или особого) интеграла. Когда говорят о вычислении сингулярного интеграла, имеют в виду вычисление его главного значения.

Обобщим эти понятия на случай комплексной переменной.

Аналитическая функция может быть определена интегралом Коши.

Рассмотрим частный случай, когда . Тогда, в зависимости от того, где лежит точка z, возможны следующие случаи

, если точка z лежит вне контура L;

, если точка z лежит внутри контура L.

Что же будет, если точка z лежит на самом контуре (будем обозначать ее в этом случае как )? Очевидно, что интеграл будет несобственным и, как и в рассмотренном выше случае, расходящимся. Однако и здесь можно ввести ограничения, которые обеспечивают существование конечного главного значения.

Сингулярным интегралом называется интеграл по контуру , при условии, что концы дуги , оставаясь от неё на одинаковом расстоянии.

Пусть

Точка  (см. рис.) обходится слева, но это не принципиально: точно такой же результат получается, если обходить ее справа

Дадим общее определение сингулярного интеграла.

Пусть АВ – кусочно-гладкая кривая. В частном случае контур АВ может быть замкнут. Определим на нём функцию f(t), которая необязательно аналитическая. Проведём из точки М окружность радиуса R. Сингулярный интеграл определяется формулой

Если точка t – регулярная точка функции f(t), то определение сингулярного интеграла совпадает с определением обычного интеграла.


Интеграл типа Коши

Интеграл типа Коши является обобщением интеграла Коши.

На дуге АВ задана функция f(t), не обязательно аналитическая, удовлетворяющая дуге АВ условию Гельдера:

 

где  - некоторое положительное число. Построим аналитическую функцию

 - интеграл типа Коши.

F(z) является аналитической во всей плоскости за исключением контура L. В бесконечно удалённой точке

Найдём предельное значение функции F(z) при , где t – точка контура, не совпадающая с точками А и В.

Пусть  слева от контура.

Первое слагаемое – сингулярный интеграл.

Получим

Аналогично находим

Объединяя полученные равенства, получим

 - формулы Сохоцкого-Племеля.

Рассмотрим частный случай: контур  замкнут, а функция  является граничным значением функции , то есть . В этом случае интеграл типа Коши переходит в интеграл Коши. Кроме того, теперь если точка  лежит вне контура , то, в соответствии с теоремой Коши

Следовательно, . Из формул Сохоцкого-Племеля следует

Полученное соотношение, справедливое для граничных значений аналитической функции, называется тождеством Племеля.

Рассмотрим задачу вычисления сингулярного интеграла

Рассмотрим  первый интеграл:

Таким образом, первый интеграл не является несобственным.

- точка  обходится слева. Окончательно получим

Литература для самостоятельного изучения. 1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39. 2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г. 3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285. 4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.

Курс электрических цепей