Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 13

Сингулярный интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :

Так как  - произвольное положительное число, то предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Рассмотрим вычисление того же интеграла при условии

Значение несобственного интеграла при  называют главным значением сингулярного (или особого) интеграла. Когда говорят о вычислении сингулярного интеграла, имеют в виду вычисление его главного значения.

Обобщим эти понятия на случай комплексной переменной.

Аналитическая функция может быть определена интегралом Коши.

Рассмотрим частный случай, когда . Тогда, в зависимости от того, где лежит точка z, возможны следующие случаи

, если точка z лежит вне контура L;

, если точка z лежит внутри контура L.

Что же будет, если точка z лежит на самом контуре (будем обозначать ее в этом случае как )? Очевидно, что интеграл будет несобственным и, как и в рассмотренном выше случае, расходящимся. Однако и здесь можно ввести ограничения, которые обеспечивают существование конечного главного значения.

Сингулярным интегралом называется интеграл по контуру , при условии, что концы дуги , оставаясь от неё на одинаковом расстоянии.

Пусть

Точка  (см. рис.) обходится слева, но это не принципиально: точно такой же результат получается, если обходить ее справа

Дадим общее определение сингулярного интеграла.

Пусть АВ – кусочно-гладкая кривая. В частном случае контур АВ может быть замкнут. Определим на нём функцию f(t), которая необязательно аналитическая. Проведём из точки М окружность радиуса R. Сингулярный интеграл определяется формулой

Если точка t – регулярная точка функции f(t), то определение сингулярного интеграла совпадает с определением обычного интеграла.


Интеграл типа Коши

Интеграл типа Коши является обобщением интеграла Коши.

На дуге АВ задана функция f(t), не обязательно аналитическая, удовлетворяющая дуге АВ условию Гельдера:

 

где  - некоторое положительное число. Построим аналитическую функцию

 - интеграл типа Коши.

F(z) является аналитической во всей плоскости за исключением контура L. В бесконечно удалённой точке

Найдём предельное значение функции F(z) при , где t – точка контура, не совпадающая с точками А и В.

Пусть  слева от контура.

Первое слагаемое – сингулярный интеграл.

Получим

Аналогично находим

Объединяя полученные равенства, получим

 - формулы Сохоцкого-Племеля.

Рассмотрим частный случай: контур  замкнут, а функция  является граничным значением функции , то есть . В этом случае интеграл типа Коши переходит в интеграл Коши. Кроме того, теперь если точка  лежит вне контура , то, в соответствии с теоремой Коши

Следовательно, . Из формул Сохоцкого-Племеля следует

Полученное соотношение, справедливое для граничных значений аналитической функции, называется тождеством Племеля.

Рассмотрим задачу вычисления сингулярного интеграла

Рассмотрим  первый интеграл:

Таким образом, первый интеграл не является несобственным.

- точка  обходится слева. Окончательно получим

Литература для самостоятельного изучения. 1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39. 2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г. 3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285. 4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения