Лабораторная работа 231
Изучение колебательного контура
Общие сведения
Колебательный контур (рис.1) представляет собой замкнутую электрическую
цепь, состоящую из катушки индуктивности L и конденсатора С, в которой могут возбуждаться
электрические колебания.
Свойства колебательного контура во многом аналогичны свойствам механических колебательных систем. В частности, электрические колебания также сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида, свободные электрические колебания затухают со временем, а в случае вынужденных электрических колебаний наблюдается явление резонанса.
Благодаря своим свойствам, колебательный контур широко используется на практике – он является одним из основных элементов радиотехнических устройств.
Возникновение колебаний в контуре
Если
разомкнуть цепь колебательного контура и от внешнего источника зарядить конденсатор,
то на его обкладках возникнут разноименные заряды 
и 
, а между обкладками – электрическое
поле, энергия которого равна
, (1)
где 
– разность потенциалов (напряжение) между обкладками* .
При замыкании цепи контура конденсатор начинает разряжаться
через катушку индуктивности и его заряд уменьшается (рис.2). При этом сила тока
в контуре нарастает (по абсолютной величине) постепенно из-за возникновения в
катушке э.д.с. самоиндукции 
, которая (согласно правилу Ленца) препятствует изменению
тока:
. (2)
 |
Рис. 2
В момент времени 
(Т - период колебаний), когда конденсатор разрядится полностью
(q = 0), сила тока достигнет своего максимального значения -
,
и энергия электрического поля полностью превратится в энергию магнитного поля
катушки:
(3)
Хотя разность потенциалов между обкладками конденсатора в этот момент будет равна нулю, ток в цепи не прекратится мгновенно, так как его уменьшение приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции, поддерживающей движение зарядов в прежнем направлении.
В момент времени 
заряды на обкладках конденсатора достигнут прежней максимальной
величины, но поменяются знаками. В этот момент 
, и энергия магнитного поля
полностью превратится в энергию электрического поля. Затем снова начнется разряд
конденсатора, но ток в контуре будет иметь обратное направление*
. В момент 
конденсатор
разрядится, и вновь из-за э.д.с. самоиндукции, возникающей в катушке, начнется
его перезарядка. В момент времени 
заряд конденсатора станет равным по величине и знаку своему
первоначальному значению (при t = 0), после чего описанные выше процессы будут
периодически повторяться – в контуре возникнут непрерывные периодические изменения
величин заряда и тока, т.е. электрические колебания. Так как внешнее напряжение
к контуру не приложено, то имеют место так называемые свободные (или собственные)
колебания.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре при отсутствии потерь энергии, известно из курса физики средней школы, где оно было получено на основе закона сохранения энергии. Получим это уравнение с помощью второго правила Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма падений напряжений на каждом из элементов замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.
На основании второго правила Кирхгофа для рассматриваемого колебательного контура можно записать:
(4)
или
. (4а)
Поделим это равенство на 
и, учитывая, что 
, получим дифференциальное уравнение, описывающее
изменение заряда конденсатора во времени:
. (4б)
Если обозначить 
как 
, уравнение (4б) примет вид
. (4в)
Решением этого уравнения является функция
, (5)
показывающая, что заряд на обкладках конденсатора
изменяется по гармоническому закону с циклической (угловой) частотой 
, (6)
называемой собственной частотой колебательного контура.
Период колебаний равен (формула Томсона)
. (7)
Напряжение на конденсаторе и ток в контуре также изменяются по гармоническому закону:
, (8)
. (9)
Из формул (5), (8), (9) видно, что колебания
заряда (или напряжения) и тока сдвинуты по фазе на 
; ток достигает максимального значения, когда заряд и напряжение
равны нулю, и наоборот (см. рис.2).