Расчет электротехнических цепей Законы Ома и Кирхгофа Екатеринбург день города 2014 тут. Резонансные явления Понятие трехфазной системы Двигатели постоянного тока Трехфазные трансформаторы Исследование выпрямителя генератора Измерение энергии

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Понятие переходного процесса

 При изучении предыдущего материала рассматривались установившиеся режимы работы электрических цепей с сосредоточенными параметрами, т.е. режимы, которые устанавливаются в цепи при неизменных напряжении, токе, сопротивлении и др.

 Например, ток в цепи с последовательно соединенными резистором и катушкой (рис. 4.1) при питании от источника постоянного тока

.

Теоретически такой ток установится в цепи через бесконечно большое время после включения, а практически – через конечное время. Если после наступления установившегося неизменного тока вновь изменить напряжение, то соответственно изменится и ток. Переход от одного установившегося режима к другому происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени (рис. 4.2). Процессы, возникаю–

Рис. 4. 2

щие в цепях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными. Переходные процессы возникают при всяком внезапном изменении параметров цепи, включении, переключении или отключении ветвей, при коротком замыкании и др. Момент внезапного изменения режима работы электрической цепи принимают за начальный (нулевой) момент времени, относительно которого характеризуют состояние цепи и описывают сам переходный процесс. Переходные токи, напряжения, ЭДС и др. обозначают малыми буквами. Так, в момент времени, предшествующий изменению режима, ток обозначают , в первый момент времени после изменения режима , в заданный момент времени  – . Для процессов, показанных на рис. 4.2

.

Продолжительность переходного процесса может быть очень малой и исчисляться долями секунды, но токи и напряжения или другие параметры, характеризующие процесс, могут достигать экстремальных значений, с точки зрения последствий для электрической цепи. Наглядным примером является перенапряжение, возникающее при отключении цепи с катушкой большой индуктивности. ЭДС самоиндукции тем больше, чем быстрее изменяется ток

При внезапном отключении цепи эта ЭДС может достигать значений, недопустимых для изоляции электроустановки и возникнуть электрическая дуга между размыкаемыми участками цепи или ее короткое замыкание. Примерами скачков тока при переходных процессах могут служить внезапные короткие замыкания в электрических машинах и трансформаторах, включение цепей с конденсаторами и др. Иногда, наоборот, переходный процесс приводит к полезным, желательным результатам, и система выполняется таким образом, чтобы возникал необходимый переходный процесс.

4.1.2. Законы коммутации

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация – это замыкание или размыкание коммутирующих приборов (рис. 4.3). В результате таких внезапных изменений параметров в электрической цепи происходит переход из энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.

При анализе переходных процессов пользуются двумя законами (правилами) коммутации.

Первый закон коммутации: в любой ветви с катушкой ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться с этих значений. Иначе: ток через катушку не может измениться скачком. Этот закон можно записать в виде равенства

Для доказательства закона достаточно рассмотреть уравнение цепи (рис. 4.4), составленное по второму закону Кирхгофа

Если допустить, что ток в цепи изменяется скачком, то напряжение на катушке будет равно бесконечности

Тогда в цепи не соблюдается закон Кирхгофа, что невозможно. 

В случае нескольких цепей связанных взаимной индуктивностью, но не имеющих в каждой катушке магнитных потоков рассеяния, в момент 

 Рис. 4.4 коммутации общий магнитный поток не может измениться скачком, тогда как токи в каждой из этих цепей могут измениться скачком.

Второй закон коммутации: в любой ветви напряжение и заряд на конденсаторе сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений.

Иначе: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком

 

Для доказательства закона рассмотрим уравнение цепи (рис. 4.5) по второму закону Кирхгофа

 Рис 4.4. 

Если допустить, что напряжение на конденсаторе изменяется скачком, то производная  а второй закон Кирхгофа нарушается. Однако ток через конденсатор

может изменяться скачком, что не противоречит второму закону Кирхгофа.

С энергетической точки зрения невозможность скачка тока через катушку и напряжения на конденсаторе объясняются невозможностью мгновенного изменения запасенных в них энергии магнитного поля катушки Li2/2 и энергии электрического поля конденсатора Cu2/2. Для этого потребовалась бы бесконечно большая мощность источника, что лишено физического смысла.

Переходный и свободный процессы

Переходный процесс в электрической цепи можно представить в виде двух составляющих: установившегося и свободного. Для неразветвленной цепи  (рис. 4.6) уравнение ЭДС по второму закону Кирхгофа имеет вид

  (4.1)

где  – переходный ток.

Когда переходный процесс закончится, наступит установившийся режим. Уравнение ЭДС примет вид

.  (4.2)

Вычтем (4.2) из (4.1) и получим

  (4.3)

или 

.

  Рис. 4.6

В этих уравнениях имеются свободные составляющие тока и напряжений

.  (4.4)

Разность токов и напряжений переходного и установившегося режима называется током и напряжением свободного процесса, или просто свободным током и напряжением.

Таким образом, реальный переходный процесс состоит из двух составляющих: установившейся, которая наступает как бы сразу, и свободной, имеющий место только во время переходного процесса

Классический метод расчета переходных процессов заключается в решении дифференциальных уравнений цепи для мгновенных значений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Решение состоит в определении: корней характеристического уравнения, свободных составляющих переходного процесса, постоянных интегрирования и, наконец, переходных токов и напряжений. Особенность классического метода в том, что при решении имеют дело с реальными параметрами и с реальным временем. Результаты расчета обычно иллюстрируют графиками.

Переходные процессы в цепи с резистором и катушкой

Короткое замыкание цепи

Для представленной на рис. 4.7 схемы требуется определить закон изменения тока в ветви с катушкой и напряжения на ней после коммутации. Выразим переходный ток через катушку в виде суммы установившейся и свободной составляющих

  (4.5)

Так как в контуре  после коммутации нет источника 

  (4.6)

Для определения свободной составляющей запишем 

 Рис. 4.7 уравнение по второму закону Кирхгофа

  .

 Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение для свободной составляющей

, (4.7)

где А – постоянная интегрирования; , с–1 – корень характеристического уравнения.

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся начальным условием при  = 0

С учетом (4.5...4.7) получим

.  (4.8)

Подставив (4.8) в (4.7), а затем (4.7) и (4.6) в (4.5), получим переходный ток

, (4.9)

где  τ – постоянная времени цепи, рассчитываемая по формуле 

.  (4.10)

Подставим (4.10) в (4.7)

.

Таким образом, постоянная времени – время, в течение которого свободная составляющая процесса уменьшается в  = 2,72 раза по сравнению с начальным значением.

График изменения переходного тока показан на рис. 4.8.

ЭДС самоиндукции катушки

 (4.11)

В момент коммутации эта ЭДС равна напряжению на сопротивлении , а в дальнейшем уменьшается по экспоненциальному закону. На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

1. При коротком замыкании цепи  ток в ней изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального значения до нуля.

2. Скорость изменения тока определяется постоянной времени цепи, которая равна индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление контура.

3. Переходный процесс заканчивается при  » 5.

4. Напряжение на катушке в начальный момент времени равно напряжению на резисторе

  4.2.2. Включение резистора и катушки на постоянное напряжение

При этом решается уравнение токов аналогично предыдущему. Переходный ток в цепи (рис. 4.9)

Установившаяся составляющая тока . Свободная составляющая тока определяется по (4.7)

  .

По начальным условиям ( = 0) определим постоянную интегрирования и свободный ток:  или. Переходный ток получается в виде

  (4.12)

Напряжение на катушке

  (4.13)

Кривые изменения токов  и напряжения на катушке показаны на рис. 4.10.

Переходные процессы в цепи с резистором и конденсатором

Короткое замыкание цепи с резистором и конденсатором (разряд конденсатора на резистор)

Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании цепи конденсатор – резистор (рис. 4.11), если предварительно конденсатор был заряжен до напряжения Установившийся ток и напряжение на конденсаторе равны нулю.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для свободных составляющих

Учитывая, что , запишем

Характеристическое уравнение имеет вид  Общее решение дает свободную 

 составляющую напряжения

 

, (4.14)

где   – постоянная интегрирования;  – корень характеристического уравнения;  – постоянная времени цепи.

С учетом (4.14) и нулевого значения установившегося напряжения получим напряжение на конденсаторе

 

Переходный ток в цепи

Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени, имеющие вид экспонент, показаны на рис. 4.12.

С энергетической точки зрения, переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе.

 

4.3.2. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)

Из схемы, приведенной на рис. 4.13 а, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе

,

а свободная – по (4.18)

.

На основании второго закона коммутации при  = 0 

следовательно:  или , откуда .


Рис. 4.13

Переходное напряжение на конденсаторе

  (4.15)

Переходный ток в цепи

  (4.16)

Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 4.13 б. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени .

Расчет переходных процессов в разветвленных цепях постоянного и синусоидального токов не входит в задачу настоящей книги.

Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС).
Расчет электротехнических цепей Лабораторные работы и решение задач