Расчет электротехнических цепей Законы Ома и Кирхгофа Резонансные явления Понятие трехфазной системы Двигатели постоянного тока Трехфазные трансформаторы Исследование выпрямителя генератора Измерение энергии

Неразветвленная цепь синусоидального тока

 Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников (рис. 2.12 а): первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме. Произвольно строим вектор тока, который является базовым для всех векторов диаграммы. В соответствии со вторым законом Кирхгофа

,

где  .

Рис. 2.12

Строим составляющие векторы, модули которых определяются по закону Ома. Суммарный вектор строим по правилу многоугольника. Векторы напряжений на активных сопротивлениях цепи совпадают по фазе с вектором тока, векторы  опережают вектор тока на 90°, а вектор  отстает от него на угол 90° (рис. 2.12 б). Действующее значение напряжения источника (модуль вектора ) по диаграмме находится из треугольника напряжений ОАВ

. (2.27)

В формуле (2.27)  – активное сопротивление цепи, равное арифметической сумме сопротивлений последовательно включенных резисторов. В общем случае для  последовательных приемников

  является реактивным сопротивлением цепи, равным алгебраической сумме реактивных сопротивлений последовательно включенных элементов. В общем случае

 

 В приведенной схеме сумма векторов индуктивных напряжений меньше вектора напряжения на конденсаторе, поэтому < 0. В таком случае говорят, что реактивное сопротивление (или цепь в целом) носит емкостный характер.

 2.3.5. Параллельное включение приемников энергии

Рис. 2.13

 Рассмотрим цепь из двух параллельных ветвей (рис. 2.13 а). Допустим, что известны напряжение источника и параметры схемы. Нужно определить ток , потребляемый от источника, и угол сдвига  на входе цепи. Для получения расчетных соотношений построим векторную диаграмму токов. Предварительно рассчитаем токи в параллельных ветвях и углы их сдвига относительно приложенного напряжения. У первой ветви характер нагрузки индуктивный, ток отстает от  на угол

 ; .

 У второй ветви характер нагрузки емкостный, вектор  опережает  на угол 

  ; .

 В качестве основного вектора принимаем вектор напряжения источника , являющегося общим для двух параллельных ветвей (рис. 2.13 б). Тогда относительно него нетрудно сориентировать векторы токов  .

 При выборе направления тока второй ветви угол  откладываем от вектора  в направлении, параллельном вектору , поскольку начала этих векторов не совмещены. В соответствии с первым законом Кирхгофа () определяем входной ток. В дальнейшем все расчетные соотношения получим из векторной диаграммы. Для этого представим каждый вектор проекциями на взаимноперпендикулярные оси. Проекцию вектора тока на вектор напряжения назовем активной составляющей тока , а перпендикулярную проекцию – реактивной составляющей . На диаграмме (рис. 2.13 б) эти составляющие показаны для всех векторов. Составляющие токи  и  физически не существуют и должны рассматриваться только как расчетные. По диаграмме активная составляющая входного тока определяется как сумма активных составляющих токов в параллельных ветвях

  (2.28)

где  – активная проводимость цепи, равная арифметической сумме активных проводимостей отдельных ветвей

где   – активная проводимость -й ветви.

  Только в частном случае, когда ветвь представляет собой чисто активное сопротивление .

 Реактивная составляющая входного тока определяется как алгебраическая сумма реактивных составляющих токов в параллельных ветвях. Реактивную составляющую ветви с катушкой считают положительной, а с конденсатором – отрицательной. Знаки учитывают при подстановке соответствующих значений

  (2.29)

где  – реактивная составляющая проводимости цепи, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей отдельных ветвей.

 В общем случае

где  – реактивная проводимость отдельной  -й ветви,

.  (2.30)

 Если рассматриваемая ветвь чисто реактивная: , проводимость  является обратной реактивному сопротивлению. Ток на входе цепи (см. векторную диаграмму на рис. 2.13 б) с учетом (2.28, 2.29)

  (2.31)

где  – полная проводимость цепи, равная геометрической сумме активной и реактивной проводимостей.

 Угол сдвига фаз  также определяется из векторной диаграммы. На рис. 2.14 а изображена векторная диаграмма входного тока , его составляющих  и  и напряжения источника . Треугольник, образованный вектором тока и его проекциями ,  и , называется треугольником токов (рис. 2.14 а). Если стороны этого треугольника разделить на напряжение , получится треугольник, подобный треугольнику токов – треугольник проводимостей. Он образован проводимостями , модули которых равны соответствующим проводимостям, а стороны совпадают с векторами , ,  треугольника токов (рис. 2.14 б).

  а) б) в)

Рис. 2.14

 На рис. 2.14 в показан треугольник проводимостей при <0. Из него находим соотношения между параметрами и формулы для определения угла сдвига фаз

. (2.32)

 Чтобы учесть знак , следует использовать формулы тангенса и синуса.

  В этой цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, а входная реактивная проводимость  или , может возникнуть явление резонанса. При  противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в такой цепи получил название резонанса токов.

 Пример 2.1. Определить действующее значение входного тока по известным токам в параллельных ветвях (риc. 2.15 а) = 3 A; = 1 A; = 5 A.

 Решение находим по первому закону Кирхгофа

,

в соответствии с которым строим векторную диаграмму.

Рис. 2.15

 Направления трех слагаемых тока  выбраны по отношению к вектору . Из диаграммы (рис. 2.16 б) определяем ток

 А.

 2.3.6. Мощности цепи синусоидального тока

 Энергетические соотношения в отдельных элементах  рассматривались в предыдущей теме. Рассмотрим участок электрической цепи, напряжение на котором , а ток .

 Определим мгновенную мощность

.

  Полученное уравнение содержит две составляющие: постоянную и синусоидальную, имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой тока и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и мощности при индуктивном характере цепи ( > 0) показаны на рис. 2.16 а.

 В промежутках времени, когда  и  имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна, энергия поступает от источника в приемник, потребляется резистором и запасается в магнитном поле катушки. Когда же  и  имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна и энергия частично возвращается от приемника к источнику. Активная мощность, поступающая в приемник, равна среднему значению мгновенной мощности за период

. (2.33)

  Тригонометрическая функция  называется коэффициентом мощности. Как видно из (2.33), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффициент мощности. Чем ближе угол  к нулю, тем ближе  к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях напряжения и тока активная мощность передается от источника к нагрузке.

 Формулу активной мощности можно преобразовать с учетом полученных ранее соотношений

 Вт.  (2.34)

 Произведение действующих значений тока и напряжения на входе цепи называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА)

.  (2.35)

 Графически полная мощность характеризует амплитуду колебаний мгновенной мощности относительно средней (активной) мощности (рис. 2.16 а). Полная мощность является расчетной мощностью электрических установок (генераторов, трансформаторов и др.), для которых она указывается в качестве номинальной, например, для генератора номинальная (полная) мощность равна его активной максимальной мощности, которая может быть получена при  = 1. Однако для большинства потребителей < 1. Поэтому даже при номинальных значениях напряжения и тока энергетические возможности источника используются не полностью, так как .

При расчетах электрических цепей и эксплуатации электрооборудования пользуются также понятием реактивной мощности, которая вычисляется по формуле

  вар. (2.36)

 Реактивная мощность характеризует собой энергию, которой обмениваются генератор и приемник. Она определяется максимальным значением мощности на участке цепи с реактивными элементами

.

  Реактивная мощность цепи может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака угла . При индуктивном характере входного сопротивления () реактивная мощность положительна, при емкостном характере () – отрицательна.

 Сравнив формулы (2.34)...(2.36), нетрудно установить связь между активной, реактивной и полной мощностями

.  (2.37)

 Соотношение (2.37) удобно представить в виде прямоугольного треугольника мощностей (рис. 2.16 б), который можно получить из треугольника напряжений умножением сторон на ток. Из треугольника мощностей имеем соотношения, широко используемые при расчетах

tgj = Q/P; cosj = P/S. (2.38)

Активная мощность, потребляемая приемником, не может быть отрицательной, поэтому всегда > 0, т. е. на выходе цепи . Активная мощность отображает совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени.

Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило, достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС).
Расчет электротехнических цепей Лабораторные работы и решение задач