Начертательная геометрия Поверхности второго порядка Аксонометрические изображения Позиционные задачи Способ концентрических сфер Метрические задачи Способ вращения Построить пересечение конуса и призмы

Аксонометрические изображения довольно широко применяются в конструкторской работе. Это объясняется тем, что они обладают большой наглядностью и сравнительно простым построением.

Особое значение приобретают аксонометрические изображения еще и потому, что в наши дни все большее внимание уделяется вопросам эстетики промышленных форм, внешнего вида изделий (дизайну).

Слово "аксонометрия" в переводе с греческого означает "измерения по осям". Аксонометрическая проекция - это чертеж, состоящий из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненной пространственной системой координат, к которой предварительно был отнесен изображаемый оригинал.

Рассмотрим пример получения аксонометрической проекции.

Возьмем точку А, отнесенную к пространственной системе прямоугольных координат XYZ. Выберем плоскость проекций П' и спроецируем на нее по некоторому данному направлению S, точку А с системой прямоугольных координат (рисунок 6-1).

0 - начало координат; 0XYZ- натуральная система координат; ОАxА1А - координатная ломаная; O'X'Y'Z' - аксонометрическая система координат; 0'А'хА'1А' - аксонометрическая координатная ломаная; А'- аксонометрическая проекция точки А; Х,Y,Z- натуральные координаты точки А; Х',Y',Z'-аксонометрические координаты точки А.

Из построения следует, что каждой точке А пространства на плоскости проекций П' соответствует определенная точка А'. Однако обратное утверждение будет неверно т.к. точке А' на П' соответствует любая точка проецирующего луча АА'.

Чтобы устранить эту неопределенность и обеспечить взаимную однозначность между точками пространства и аксонометрическими проекциями, на плоскость П' проецируют и одну ортогональную проекцию т. А - А1. Ее аксонометрическую проекцию А'1 называют вторичной проекцией т.А. В этом случае А' и А'1 определяют положение т. А в пространстве (зная А1 находим Ах; по Ах → А'х; по А'х и А1®А').

 

 

ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ

В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется коэффициентами искажения.

Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси к его натуральной длине.

Приняты коэффициенты искажения по осям:

 По оси X:U =О'Х'/ОХ=О'А'х/ОАх=Х'АХА;

  По оси Y: V=O'Y'/OY=A'xA'/AxA=Y'A/YA

 По оси Х: W=O'Z'/OZ=A'1A/A1A=Z'AZA.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрических проекций:

1) изометрические - коэффициенты искажения по всем осям равны между собой - U=V=W;

2) диметрические - - коэффициенты искажения по двум осям равны между собой, а по третьей отличаются от первых двух –

U=V≠W; U=W≠V; V=W≠U.

3) триметрические – коэффициенты искажения по всем осям различны-

U≠V≠W, где U≠W.


17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

В зависимости от направления проецирования S по отношению к плоскости проекций П' аксонометрические проекции подразделяются на:

ортогональные (когда проецирующие лучи направлены перпендикулярно к П');

косоугольные (когда проецирующие лучи направлены к П' под углом отличным от 90˚).

Для построения аксонометрической проекции точки А необходимо построить координатную ломаную линию. Аксонометрические координаты точки будут равны: X'A=U´XA; Y'A=V´YA; Z'=W´ZA.

17.1 Основное предложение аксонометрии

При построении параллельной аксонометрической проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П' и направление проецирования.

Любому изменению взаимного положения осей координат и плоскости проекций (или изменению направления проецирования) будет соответствовать как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по этим осям.

Между коэффициентами искажения и углом проецирования существует следующая зависимость:

U²+V²+W²=2+ctg j (теорема Польке)

где: j - угол между направлением проецирования и плоскостью проекций.

При j = 90° (ортогональная аксонометрическая проекция):

U²+V²+W²=2

17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции

Наибольшее применение в практике получили прямоугольные аксонометрические проекции, которые обладают большей наглядностью и упрощениями, которые в них достигаются. Свойств этих три. Нам сейчас важно запомнить одно:

 коэффициенты искажения в ортогональной аксонометрии равны косинусам углов наклона натуральных осей к плоскости проекций

Все три коэффициента искажения ограничены поэтому крайними значениями 0 и 1.


18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

ГОСТ 2.317-69 предусматривает три частных вида аксонометрических проекций.

18.1 Прямоугольная изометрия

Аксонометрические оси в пря- моугольной изометрии образуют между собой углы 120°. Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям (рисунок 6-2) U=V=W.

Отсюда Cosa=Cosb=Cosg и a=b=g.

Это означает, что натуральные координатные оси одинаково наклонены к плоскости проекций, тогда: U²=V²=W² откуда 3U²=2 и U»0,82.

Рисунок 6-2

На практике пользуются приведенной прямоугольной изометрией, в которой показатели искажения приводятся к единице, т.е.U=V=W=1. Коэффициент приведения m=U/u=1,0/0,82=1,22,. Аксонометрическое изображение будет увеличено в 1.22 раза относительно оригинала.

МА=1,22:1. При U=V=W=0.82 м.о.э.=0,58d, Б.О.Э.=d.

 При U=V=W=1,0 м.о.э.=0,71d, Б.О.Э.=1,22d.

18.2 Прямоугольная диметрия

Эта проекция представлена на рисунке 6-3. Здесь U=W; V¹W, V=U/2.

Тогда U²+U²/4+U²=2 откуда U=W=0.94, V=0.47.

При приведении коэффициентов к единице (округлении):

U=W=1.0, V=0.5 получим аксонометрическое изображение увеличенным в m=1/0.94=1.06 раза. МА=1.06:1.

При U=W=1 и V=0.5 м.о.э. = 0.35d; Б.О.Э. = 1.06d для координатных плоскостей ХОУ и YOZ, а для координатной плоскости ХOZ: м.о.э. = 0.95d, Б.О.Э. = 1.06d.

 

 

 

 

18.3 Косоугольная фронтальная диметрия

В практике встречаются случаи, когда целесообразно сохранить неискаженными фигуры расположенные в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций (например, при изображении технической детали, имеющей много окружностей в параллельных плоскостях). Эти детали проще изобразить, если окружности будут проецироваться в аксонометрии без искажения.

Для получения такой аксонометрической проекции плоскость проекций П' располагают параллельно координатной плоскости ХОZ. Тогда оси координат Х и Z, параллельные П', проецируются на неё в натуральную величину, и коэффициенты искажения U=W=1. Коэффициент искажения по оси Y будет равен:

U²+V²+W²=2+ctg j откуда V²=ctg j

где j-угол между направлением проецирования и плоскостью проекций П'.

< На практике направление оси Y выбирают таким образом, чтобы углы образованные аксонометрической осью Y с осями Х и Z- равнялись 135°, а показатель искажения V=0.5 (рисунок 6-4).

Легко определить, что угол j=arc ctg 0.5=63°, м.о.э.=0.33d, Б.О.Э.=1.07d. Однако еще раз нужно подчеркнуть, что косоугольная фронтальная диметрия применяется тогда, когда деталь имеет много окружностей, расположенных в параллельных плоскостях (рисунок 5-5). Такую деталь целесообразно изображать в косоугольной фронтальной диметрии.

Курс лекций Начертательная геометрия в которой рассматриваются следующие основные вопросы : 1) Построение изображений или чертежей предметов; 2) Решение геометрических задач в пространстве при помощи чертежей на плоскости. Начертательная геометрия является лучшим средством развития у человека пространственного воображения, без которого не мыслимо инженерное творчество.
Начертательная геометрия в конструкторской работе