Аксонометрия и проекции Комплексный чертёж Монжа Взаимное положение прямых и плоскостей Преобразование комплексного чертежа Поверхностью вращения Способ вспомогательных секущих сфер Развёртки поверхностей

Способ вспомогательных секущих сфер

 Использование сферы в качестве вспомогательной секущей поверхности основано на свойстве сферы пересекаться с соосной с ней поверхностью вращения по окружностям. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число окружностей равно числу точек пересечения меридианов таких поверхностей (рис.13.3,а).

 Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения (рис.13.3,б), то сфера сосна с этой поверхностью и пересекается с ней по окружностям. Плоскости окружностей пересечения перпендикулярны общей оси вращения.

Рис.13.3

 При использовании сферы в качестве вспомогательной секущей поверхности возможны два случая. В одном из них пользуются сферами, проведёнными из одного общего для всех центра, а в другом – сферами, проведёнными из разных центров. В первом случае способ называется способом концентрических секущих сфер, во втором – способом эксцентрических секущих сфер. Рассмотрим оба этих способа.

Способ концентрических секущих сфер

 При этом способе вспомогательные сферы проводят из одного общего центра. Для того, чтобы можно было воспользоваться этим способом, должны выполняться следующие условия.

  1. Обе пересекающиеся поверхности должны нести на себе семейство окружностей.

  2. Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.

  3. Оси поверхностей должны пересекаться.

 Учитывая перечисленные условия, можно сказать, что способ концентрических секущих сфер можно применять для нахождения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Точка пересечения осей и принимается за центр вспомогательных сфер.

 Решение задачи на построение линии пересечения двух поверхностей способом сфер начинается с нахождения опорных точек. Затем определяются радиусы минимальной сферы Rmin и максимальной сферы Rmax. Для этого проводятся две сферы, касательные к заданным поверхностям. За сферу минимального радиуса принимается большая из них, поскольку меньшая сфера, касающаяся одной поверхности, с другой поверхностью не пересекается. За сферу максимального радиуса принимается сфера, проходящая через наиболее удалённую опорную точку. Тогда в процессе решения задачи необходимо будет проводить вспомогательные сферы, радиусы которых Rmin<R<Rmax.

 Сущность способа концентрических сфер рассмотрим на примере построения линии пересечения прямого кругового конуса с прямым круговым цилиндром (рис.13.4).

Рис.13.4

 Сначала необходимо убедиться, что условия применения способа концентрических сфер выполняются. В нашем случае у конуса и у цилиндра семейства окружностей расположены в плоскостях, перпендикулярных осям вращения поверхностей. У поверхностей есть общая плоскость симметрии, в которой расположены главные меридианы поверхностей. Оси поверхностей пересекаются. Точку их пересечения принимаем за центр вспомогательных сфер. Построение вспомогательных сфер будем выполнять на фронтальной плоскости проекций П2. Затем определяются опорные точки пересечения главных меридианов поверхностей – точки A, B, C, D. Далее нужно найти сферы минимального и максимального радиусов. За сферу минимального радиуса принимается сфера, касательная к поверхности цилиндра, которая пересекается с конусом. А за сферу максимального радиуса принимается сфера, проходящая через опорную точку D.

 Сфера минимального радиуса касается цилиндра по окружности, а конус она пересекает по двум окружностям. Эти окружности, как лежащие на одной и той же сфере, пересекаются между собой в точках E, F, I и J, которые являются точками линии пересечения заданных поверхностей. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек необходимо построить сначала горизонтальные проекции окружностей пересечения вспомогательной сферы минимального радиуса с конусом, а затем с помощью вертикальных линий связи построить горизонтальные проекции точек.

 Аналогичным образом выполняют построение точек для других вспомогательных сфер.

 Найденные точки необходимо соединить плавной линией с учетом видимости. Границей видимости линии пересечения для плоскости П1 являются очерковые линии цилиндра, фронтальные проекции которых совпадают с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра. Линия пересечения поверхностей в данном случае распалась на две линии. Обе линии являются замкнутыми кривыми. Меньшая из них расположена выше границы видимости, и поэтому на плоскости П1 она будет видимой. Вторая часть линии пересечения лежит на нижней части цилиндра и на горизонтальной плоскости проекций будет невидимой.

Научное обоснование методов начертательной геометрии произошло в семнадцатом веке в связи с начавшемся бурным развитием в Европе промышленности. Основоположником считается видный французский ученый и политический деятель Гаспар Монж (1746 - 1818 гг.). Его учение о ортогональном методе проецированная сохранилось до нашего времени .
Начертательная геометрия Задачи и примеры