Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Аксонометрия и проекции Комплексный чертёж Монжа Взаимное положение прямых и плоскостей Преобразование комплексного чертежа Поверхностью вращения Способ вспомогательных секущих сфер Развёртки поверхностей

Поверхности

Поверхности являются самым сложным геометрическим объектом, изучаемым начертательной геометрией и инженерной графикой. Мир поверхностей безграничен. Он простирается от простейшей плоскости до причудливых поверхностей, используемых в архитектуре и скульптуре, от элементарного цилиндра до сложнейших по форме деталей авиадвигателя и т.п. Все, что нас окружает дома, машины, люди и т.д. – принадлежит к миру поверхностей. Поверхности в нашей жизни играют очень важную роль, особенно для инженера-конструк­тора, который должен знать и уметь, как сконструировать поверхность, чтобы она отвечала заранее заданным требованиям. А эта задача весьма трудоемка и часто бывает нелегко найти правильное решение. Рассмотрим некоторые общие вопросы образования и задания поверхностей, которые необходимо знать проектировщику при решении практических задач.

1. Понятие о поверхности

Определение поверхности. В математике под поверхностью понимается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F(x,y,z)=0 , где F(х,у,z) – многочлен n-й степени или трансцендентная функция.

Начертательная геометрия изучает геометрические фигуры, заданные графически. Поэтому поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением, например, времени, и принять время за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свое очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек. С учетом этого можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное двухпараметрическое множество точек.

2. Способы образования поверхностей

Существует два наиболее распространенных способа образования поверхностей: 1) при помощи движущейся линии; 2) при помощи движущейся поверхности. Рассмотрим указанные способы.

1. Пусть некоторая линия s (называемая образующей поверхности) непрерывно перемещается в пространстве, занимая последовательно положения s1, s2, ..., si , ... ,sn (рис.9.1). При движении линия может быть неизменной или непрерывно менять свою форму. Каждая точка Aj, принадлежащая линии s, при своем перемещении опишет некоторую траекторию tj. Линии t, называются направляющими, так как их можно рассматривать как линии, по которым перемещается образующая s. Совокупность линий si и tj образует каркас поверхности или сеть. Данный способ образования поверхностей называется кинематическим и является основным в начертательной геометрии. Он широко используется в технике. Например, так происходит формообразование поверхностей при обработке деталей на металлорежущих станках с линейным контактом режущего инструмента (резца, фрезы и т.п.) и заготовки. В этом случае поверхность детали несет на себе «отпечаток» профиля инструмента. Поверхности, образованные таким способом, называются кинематическими.

Рис.9.1

2. В этом случае некоторая поверхность F (называемая производящей поверхностью) перемещается в пространстве, занимая ряд последовательных положений F1, F2, …, Fn. Совокупность всех положений поверхности F определяет некоторую новую поверхность Φ, являющуюся огибающей этих поверхностей. Огибающая поверхность может касаться производящей поверхности по некоторой линии (например, ковш обычного или роторного экскаватора при рытье траншей, каналов, проходке тоннелей) или в точке (обработка некоторой выпуклой поверхности торцом сферической или пальцевой фрезы).

Кроме этих двух наиболее распространенных способов образования поверхностей в научных исследованиях по начертательной и прикладной геометрии применяются еще некоторые другие способы, такие, например, как способ конкурирующих поверхностей, способ мгновенных преобразований.

Суть способа конкурирующих поверхностей заключается в следующем. Пусть в пространстве заданы две конкурирующие поверхности, проекции которых на одну из плоскостей проекций совпадают всеми своими точками. Тогда две оставшиеся не совпавшие проекции (по одной от каждой поверхности) определяют новую поверхность. Этот способ является обобщением так называемых «ключевых» способов образования поверхности, когда искомая поверхность конструируется графически без применения аналитических расчетов.

Способ мгновенных преобразований, в отличие от предыдущего способа, является аналитическим. Он связан с заданием в пространстве некоторого преобразования Т, определяемого уравнениями:

х'=f1(x,y,z,t)

у'=f2(x,y,z,t)

z'= f3 (х,у,z,t),

где t - переменный параметр.

Придавая параметру различные непрерывные значения, можно получить непрерывное множество преобразований T1, T2,...,Tj, зависящих от параметра t. Каждое отдельно взятое преобразование Tj, соответствующее значению параметра tj, называется мгновенным преобразованием. Такое однопараметрическое множество размножает точку пространства в линию, линию пространства в поверхность, поэтому способ применяется для образования поверхностей. Совокупность аналитического выражения исходной образующей линии (если она задана математически) и преобразований дает уравнение непрерывного каркаса сконструированной поверхности (о каркасе поверхности более подробно ниже).

3. Способы задания поверхностей

Поверхность, образованная каким-либо способом, считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о ее принадлежности данной поверхности. Для поверхности, заданной на чертеже, это условие становится следующим: поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую проекцию. Совокупность условий, необходимых для задания поверхности, называется определителем поверхности. Он состоит из геометрической и алгоритмической частей. Геометрическая часть определителя – это перечень геометрических элементов и фигур, которые участвуют в образовании поверхности. Алгоритмическая часть определителя описывает взаимосвязи между элементами и фигурами, входящими в геометрическую часть, а также представляет совокупность правил, по которым образуется поверхность. Например, поверхность сферы можно образовать, вращая некоторую точку вокруг другой неподвижной точки (центра сферы) и поворачивая при этом плоскость вращения вокруг оси, проходящей через центр сферы. В этом случае в геометрическую часть определителя войдут две точки, а в алгоритмическую часть – описание правил вращения одной точки вокруг другой.

Следует иметь в виду, что при задании поверхности можно в ряде случаев вместо геометрических элементов задавать числовые параметры. Например, сферу можно было бы задать центром и величиной радиуса. Для задания конуса вращения необходимо определить ось вращения и величину угла между образующей конуса и осью. Такие параметры поверхности принято разделять на параметры формы и положения. Параметры, изменение которых приводит к изменению формы поверхности, называются параметрами формы. Если же при изменении параметра меняется положение поверхности в пространстве, то такой параметр относят к параметрам положения. В случае задания сферы ее радиус является параметром формы, а координаты центра сферы – параметрами положения. Число независимых параметров поверхности называется ее параметрическим числом.

Существует три наиболее распространённых способа задания поверхностей: аналитический, графический и графоаналитический. Рассмотрим каждый из этих способов.

Аналитический способ. В этом случае поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению вида:

F(x, y, z) = 0 или z = Ф(х, у),

где F и Ф - алгебраическая или трансцендентная функция.

Поверхность также может задаваться системой уравнений, определяющих зависимость координат точек поверхности от некоторого параметра:

x = X(t)

y = Y(t)

z = Z(t).

Такой способ задания называется параметрическим.

Широкое распространение в последнее время получила векторная форма задания поверхности, в этом случае поверхность определяется вектор-функцией R некоторой точки N, принадлежащей поверхности. Эта функция зависит от двух скалярных аргументов u и v:

R = R(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k,

где x,y,z – координаты вектор-функции. Параметры u и v называются криволинейными координатами поверхности. Каждой паре значений u, v из области их изменения соответствует точка поверхности, координаты которой определяются функциями

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).

Если один из параметров принять постоянным, например, задаться v=v1, то вектор функции R=R(u,v1) опишет на поверхности некоторую линию v1=const, называемую координатной линией. Переходя к другому значению v=v2, получим следующую линию семейства v2=const. Совокупность линий vi=const (i=1, …, m) образует линейный каркас поверхности (линейным каркасом поверхности называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества).

Аналогично, фиксируя u и изменяя v, можно получить координатную линию u=const. Множество линий uj=const (j=1, ..., n) образует другой линейный каркас той же поверхности. Через каждую точку поверхности можно провести две координатные линии (одну – семейства uj=const, другую – vi=const). Совокупность двух линейных каркасов образует сетчатый каркас поверхности или сеть.

Векторная форма задания поверхностей часто используется для задания кинематических поверхностей. Действительно, пусть образующая линия поверхности задана параметрически в виде r = r(u). Вводя второй параметр v, определяющий перемещение образующей в пространстве, можно получить сетчатый каркас поверхности, описывающийся уравнением r =r (u,v). Причем линии каркаса vi = const в этом случае представляют собой семейство образующих, а линии каркаса uj =const - семейство направляющих линий поверхности (рис.9.2).

Рис.9.2

Основы этой науки заложены были при разработке первых чертежей. Дошедшие до нас чертежи и рисунки Древней Руси говорят о том, что при их создании применялись методы близкие к геометрическим методам. Древние памятники инженерной графики свидетельствуют, что графическое искусство на Руси было на высоком уровне.
Начертательная геометрия Задачи и примеры