Аксонометрия и проекции Комплексный чертёж Монжа Взаимное положение прямых и плоскостей Преобразование комплексного чертежа Поверхностью вращения Способ вспомогательных секущих сфер Развёртки поверхностей

Основные задачи, решаемые одной заменой плоскости проекций

С помощью одной замены плоскости проекций решаются четыре основные типовые задачи:

прямую общего положения преобразовать в прямую уровня;

прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую;

плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость;

проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Рассмотрим их решение более подробно.

Первая задача. Прямую l (l1, l2) общего положения преобразовать в прямую уровня.

Для того, чтобы заданную прямую l преобразовать в прямую уровня, достаточно заменить одну из плоскостей проекций, например плоскость П2, на новую плоскость П4, перпендикулярную к незаменяемой плоскости П1 и параллельную данной прямой l . Тогда в системе (П1, П4) прямая l будет являться прямой уровня.

Чтобы проделать эту замену на комплексном чертеже (рис.6.7), необходимо сначала провести новую ось проекций x14 - горизонтальный след горизонтально-проецирующей плоскости П4,- параллельно горизонтальной проекции l1 прямой l. Затем нужно провести новые линии связи через незаменяемые проекции 11 и 22 двух произвольных точек 1 и 2 прямой l. Эти линии связи должны быть перпендикулярны к новой оси x14. На новых линиях связи от новой оси откладываем высоты точек 1 и 2, измеренные от заменяемой проекции l2 до старой оси x12. Получаем новые проекции 14, 24 точек 1 и 2, которые определят искомую фронтальную проекцию прямой l 4 на плоскость П4.

После проведённой замены плоскости мы достигли следующего:

1) прямая l (l 1, l 4) стала линией уровня (фронталью);

2) отрезок 1424 равен натуральной величине отрезка 12 прямой l;

3) угол a, образованный проекцией 1424 с осью x14, равен натуральной величине угла наклона прямой l к горизонтальной плоскости проекций П1.

Очевидно, что рассмотренную задачу можно решить также заменой плоскости П1 на плоскость П5, перпендикулярную к П2 и параллельную прямой l. На комплексном чертеже новая ось x25 должна проводиться параллельно фронтальной проекции l2 прямой l. Построив новую горизонтальную проекцию прямой l5, получим угол b, равный натуральной величине угла наклона прямой l к плоскости П2. Кроме того, отрезок 1525 также равен натуральной величине отрезка 12 прямой l.

Рис.6.7

Вторая задача. Прямую уровня l преобразовать в проецирующую прямую.

Для решения задачи новую плоскость проекций необходимо провести перпендикулярно заданной прямой уровня l . Кроме того, она должна быть перпендикулярна к незаменяемой плоскости проекций. На комплексном чертеже (рис.6.8) новую ось проекций необходимо проводить перпендикулярно к проекции прямой на той плоскости проекций, которой она параллельна. Если заданная прямая является горизонталью, проводить нужно перпендикулярно горизонтальной проекции прямой l1. Если заданная прямая является фронталью, проводить нужно перпендикулярно фронтальной проекции прямой l2. Это связано с тем, что, согласно теоремы о проецировании прямого угла, прямой угол с горизонталью сохраняется на плоскости П1, а прямой угол с фронталью – на П2.

Т.к. в данном случае прямая l является горизонталью, новая ось проекций x14 проводится перпендикулярно l1 (x14 ^ l4). Новые линии связи, проведённые через точки 11 и 21, будут совпадать с прямой l4. Откладывая на линии связи от новой оси x14 отрезок, равный высоте точек прямой l относительно плоскости П1, получим проекцию заданной прямой на плоскость П4 виде точки l4=14=24.

Рис.6.8

Таким образом, после проведённой замены плоскости проекций, мы перешли к системе плоскостей (П1, П4). При этом прямая l становится проецирующей прямой относительно плоскости П4; все ее точки проецируются на плоскость П4 в виде одной точки l4.

Третья задача. Плоскость S общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

Для решения задачи новая плоскость проекций должна быть проведена перпендикулярно заданной плоскости общего положения. Как известно, две плоскости взаимно перпендикулярны, если каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. В качестве прямой плоскости, перпендикулярно которой проводится вторая плоскость, используются прямые уровня, т.к. только с ними прямой угол сохраняется на плоскостях проекций. Поэтому в заданной плоскости необходимо провести горизонталь или фронталь и перпендикулярно этой прямой уровня ввести новую плоскость проекций. Очевидно, что если выбрать горизонталь, то в новой системе плоскостей проекций заданная плоскость преобразуется во фронтально проецирующую плоскость. Если же выбрать фронталь, в новой системе плоскостей проекций заданная плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую плоскость.

На комплексном чертеже (рис.6.9) построения будем проводить в следующей последовательности. Проведем в заданной плоскости S горизонталь h. Заменим плоскость П2 на новую плоскость П4. Для этого новую ось x14 проведём перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1 (x14 ^ h1). Затем строим на соответствующих новых линиях связи новые проекции точек А4, В4, С4, которые расположатся на одной прямой - новой проекции плоскости S4.

Рис.6.9

Итак, заменив плоскость П2 плоскостью П4, мы достигли следующего:

1) плоскость S(ΔABC) стала фронтально проецирующей;

2) угол a, образованный проекцией А4В4С4 с осью x14, равен натуральной величине угла наклона плоскости S к горизонтальной плоскости проекций П1.

Четвертая задача. Проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Для решения задачи новая плоскость проекций должна быть проведена параллельно заданной проецирующей плоскости. На комплексном чертеже новую ось проекций проводят параллельно вырожденной проекции плоскости. В данном случае (рис.6.10) заданная плоскость является горизонтально проецирующей. Значит необходимо заменить плоскость П2 на плоскость П4. Новую ось x14 нужно провести параллельно горизонтальной проекции плоскости Σ1.

Построив новые проекции точек А4, В4, С4, получим искомую проекцию плоскости Σ4. В результате такой замены плоскости проекций мы получили следующее:

1) заданная горизонтально проецирующая плоскость Σ(ΔABC) стала фронтальной плоскостью уровня относительно плоскости II4;

2) проекция Σ4 равна натуральной величине треугольника ABC.

Рис.6.10.

Основные задачи, решаемые двумя заменами плоскостей проекций

С помощью двух замен плоскостей проекций решаются две основные типовые задачи:

Прямую общего положения преобразовать в проецирующую прямую.

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня.

Первая задача. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую прямую.

Для этого первой заменой плоскости проекций прямую общего положения можно преобразовать в прямую уровня (см.рис.6.7). Затем с помощью второй замены плоскости проекций прямую уровня можно преобразовать в проецирующую прямую (см.рис.6.8).

Вторая задача. Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня.

Для решения задачи сначала заменой одной плоскости проекций плоскость общего положения можно преобразовать в проецирующую плоскость (см.рис.6.9). Далее заменой второй плоскости проекций проецирующую плоскость можно преобразовать в плоскость уровня (см.рис.6.10).

Основы этой науки заложены были при разработке первых чертежей. Дошедшие до нас чертежи и рисунки Древней Руси говорят о том, что при их создании применялись методы близкие к геометрическим методам. Древние памятники инженерной графики свидетельствуют, что графическое искусство на Руси было на высоком уровне.
Начертательная геометрия Задачи и примеры