Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Начертательная геометрия Поверхности второго порядка Аксонометрические изображения Позиционные задачи Способ концентрических сфер Метрические задачи Способ вращения Построить пересечение конуса и призмы

Комплексный чертеж точки

Комплексный чертёж Монжа

Наибольшее применение на практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертеж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом. Его предложил использовать в конце XVIII века французский инженер Гаспар Монж.

Принцип образования чертежа состоит в том, что фигура проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций П1 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2 располагается вертикально перед наблюдателем и называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 2.1). Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Рис.2.1

2. Двухкартинный комплексный чертёж точки.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П1 и П2 какую–нибудь точку А. Получим две ее проекции: горизонтальную проекцию А1 на плоскости П1 и фронтальную проекцию А2 на плоскости П2 (рис.2.2). Проецирующие прямые АА1 и АА2, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А1АА2, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций x12. Прямые АХА1 и АХА2, являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П1 и П2, будут перпендикулярны к оси проекций x12.

Рис.2.2. Проецирование точки

Обратно, каждая пара точек А1 и А2, соответственно принадлежащих плоскостям П1 и П2 и расположенных на перпендикулярах к оси x12, восставленных из одной и той же точки АХ, определяют в пространстве единственную точку А. В самом деле, если провести через точку А1 и А2 перпендикуляры А1А и А2А соответственно к плоскостям П1 и П2, то они, находясь в одной плоскости A1AxA2, пересекутся в некоторой точке А. Расстояние А1А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А2А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П1 с плоскостью П2, вращая переднюю полуплоскость П1 вокруг оси x12 вниз. В результате получим двухкартинный комплексный чертеж точки А (рис.2.3), состоящий из двух проекций А1 и А2 точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси x12. Прямая А1А2, соединяющая две проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т.е. по нему можно восстановить оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А2 точки А и имея на чертеже ее глубину f=АХА1, можно построить точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А2 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А.

Рис.2.3. Двухкартинный комплексный чертёж точки

На практике часто бывает безразличным положение изображаемой фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и оси проекций не изображать. Основанием этому может служить отмеченное шестое свойство параллельной проекции не изменять проекции фигуры при параллельном переносе плоскости проекций.

Плоскости проекций П1 и П2 разделяют все пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями. При этом условимся нумеровать квадранты в порядке, указанном на рис.2.2, и называть их I, II, III и IV квадрантами.

Если точка А лежит в I квадранте, то ее горизонтальная проекция А1 будет принадлежать передней полуплоскости П1, а фронтальная проекция А2 – верхней полуплоскости П2. При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проекция А1 точки А окажется расположенной ниже оси x12, а фронтальная проекция А2 – выше оси x12 (см. рис.2.3). В зависимости от положения точек в различных квадрантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже (рис.2.4), так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит точка.

Рис.2.4. Комплексный чертёж точек, лежащих в разных квадрантах:

В – во II, С – в III, D – IV квадрантах

3. Трёхкартинный комплексный чертёж точки

Двухкартинный комплексный чертеж является обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала часто становится проще, когда помимо двух основных проекций имеется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям П1 и П2, и которая называется профильной плоскостью проекций. Ее обозначают П3. Три плоскости проекций П1, П2 и П3 образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис.2.5). Линии пересечения плоскостей будем обозначать через x12, y13, z23.

Рассмотрим построение трехкартинного комплексного чертежа. Пусть А – некоторая точка пространства. Опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций П1, П2, П3: AAi ^ Пi (i = 1, 2, 3). Основания этих перпендикуляров (точки А1, А2, А3) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций П1, П2, П3 (рис.2.6). Заметим при этом, что проецирующие плоскости AA1A2, АА1А3 и АА2А3 перпендикулярны соответственно осям x12, y13, z23. Обозначив точки пересечения этих плоскостей с осями через A12, A13, А23, заметим, что как прямые A1A12 и A12A2 перпендикулярны к оси X, так и две другие пары прямых A1A13, А13А3 и А2А23. А23А3 должны быть перпендикулярны соответственно осям y13 и z23. Расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций П1 мы назвали ранее высотой точки А, расстояние точки А от фронтальной плоскости проекций П2 – ее глубиной; расстояние точки А от профильной плоскости проекций П3 будем называть широтой точки А.

Рис.2.6. Проецирование точки на три плоскости проекций

При построении плоского чертежа плоскость П2 считается неподвижной, а остальные плоскости П1 и П3 совмещаются с ней путем вращения соответственно вокруг осей x12 и z23 в направлении, указанном на рис.2.6 стрелками. После совмещения плоскости П1 с фронтальной плоскостью П2 отрезки A1A12 ^ x12 и A12A2 ^ x12 окажутся расположенными на одной прямой (рис.2.7). Аналогично после совмещения плоскости П3 с плоскостью П2 отрезки A2A23 ^ z23 и A23A3 ^ z23 расположатся на горизонтальной линии связи A2A3 ^ z23.

Рис.2.7. Трёхкартинный комплексный чертёж точки

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получим трехкартинный комплексный чертеж точки А, состоящий из трех ортогональных проекций. При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям: A1A2^x12, A2A3^z23, а отрезки A12A1 и А23А3 равны, т.к. они являются глубиной точки А.

Рассмотрим, какой линией связи можно соединять горизонтальную и профильную проекции точки А. Для этого обратим внимание на квадрат А13ОА13А* (см.рис.2.7). Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла y13Oy13. Следовательно, линия связи, соединяющая проекции А1 и А3, представляет собой ломаную линию с вершиной на биссектрисе угла y13Oy13, состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). В дальнейшем эту линию будем называть горизонтально–вертикальной линией связи. Часть этой ломаной часто заменяют дугой окружности.

Введенная система трех плоскостей проекций П1, П2 и П3 разделяет все пространство на восемь частей, называемых октантами. Их нумеруют следующим образом: слева от профильной плоскости октанты сохраняют нумерацию квадрантов, а справа от плоскости П3 идут номера 5, 6, 7 и 8. При совмещении плоскостей проекций передняя часть горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх; передняя часть профильной плоскости удаляется от нас направо, а задняя приближается слева.

Множество горизонтальных проекций всех точек пространства назовем полем горизонтальных проекций П1 (соответствующая проекция фигуры в инженерной графике называется видом сверху), а множество фронтальных проекций всех точек пространства – полем фронтальных проекций П2 (соответствующая проекция фигуры называется видом спереди или главным видом). Аналогично множество профильных проекций всех точек пространства назовем полем профильных проекций П3 (соответствующая проекция фигуры называется видом слева).

Чтобы иметь возможность точного построения комплексных чертежей каких–либо фигур, необходимо уметь задавать с помощью чисел положения проекций точек, определяющих данные фигуры. Для этого, как известно, следует воспользоваться координатным методом. Рассмотрим трехгранник, образованный системой плоскостей проекций П1, П2, П3. На осях x12, y13, z23 установим единицу измерения е. За начало отсчета примем точку О пересечения трех плоскостей проекций (вершину трехгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рис.2.6. Тогда трехгранник Ox12y13z23 можно рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с координатными осями: Оx12 – ось абсцисс, Оy13 – ось ординат, Oz23 – ось аппликат.

Ломаная OA12A1A, определяющая положение точки А относительно координатной системы Ox12y13z23, называется, как уже было сказано ранее, координатной ломаной линией. Звенья этой ломаной называются отрезками координат: ОА – отрезок абсциссы, A12A1 – отрезок ординаты, А1А – отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной единицей длины е, называются координатами точки А:

 – абсцисса,  – ордината,  – аппликата точки А.

Координаты точки А можно рассматривать, как ее расстояния до плоскостей проекций, поэтому координаты будут иметь следующие значения: ZA – высота, YA – глубина, ХA – широта точки А. Координаты точки называются определителем точки.

Рассмотрим пример. Построить трёхкартинный комплексный чертёж точки А(25,15,10).

По заданным координатам точку А можно построить следующим образом (рис.2.8). Сначала на оси x12 от начала координат в положительном направлении откладываем отрезок ОА12, равный 25 единицам (абсцисса точки А или её широта). Через полученную точку А12 проводим вертикальную линию связи, на которой вверх откладываем отрезок А12А2, равный 10 единицам (аппликата точки А или её высота). Получим фронтальную проекцию А2 точки А. Для построения горизонтальной проекции А1 точки А необходимо на вертикальной линии связи отложить вниз отрезок А12А1, равный 15 единицам (ордината точки А или её глубина). Через построенные проекции точки А нужно провести горизонтальные линии связи, которые пересекут ось y13 в точке А13 и ось z23 в точке А23. Точку А13 перенесем на горизонтальную ось y13 с помощью дуги окружности и далее проведём вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи. Точка их пересечения и будет являться профильной проекцией А3 точки А.

Рис.2.8. Комплексный чертёж точки А

В начертательной геометрии кривую линию часто рассматривают как траекторию описанную движущейся точкой. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Все точки плоской кривой принадлежат некоторой плоскости. Кривую не лежащую всеми точками в одной плоскости называют пространственной. Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения .
Начертательная геометрия в конструкторской работе