Начертательная геометрия Поверхности второго порядка Аксонометрические изображения Позиционные задачи Способ концентрических сфер Метрические задачи Способ вращения Построить пересечение конуса и призмы

Проекции и их свойства

Учебная дисциплина «Начертательная геометрии и инженерная графика» даёт студентам знания, которые необходимы им для общения с техническими специалистами на специальном графическом языке. Дисциплина включает следующие разделы: начертательную геометрию, машиностроительное черчение (инженерную графику) и основы компьютерной графики.

В первом семестре изучается начертательная геометрия, представляющая собой раздел геометрии, в котором пространственные формы предметов действительного мира и соответствующие геометрические закономерности изучаются при помощи изображений на плоскости – чертежей. Чертеж при этом является инструментом, с помощью которого осуществляется непосредственное изучение геометрических форм предметов и выполняется решение пространственных задач. Не всякое изображение предмета на листе бумаги позволяет точно определить его геометрическую фигуру. Для того, чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемому предмету (а только в этом случае можно изучать сам предмет по его чертежу), он должен быть построен при помощи метода проецирования (от латинского слова ргоjесеге – бросать вперед). Поэтому чертежи, применяемые в начертательной геометрии и инженерной графике, носят название проекционных чертежей.

Среди требований, предъявляемых к чертежам, наиболее существенными являются:

наглядность – давать пространственное представление изображённого предмета;

обратимость – по чертежу можно однозначно воспроизвести форму и размеры изображённого предмета.

Перед начертательной геометрией стоят следующие основные задачи:

 разработка способов построения чертежей пространственных предметов на плоскости;

 изучение способов решения и исследования пространственных задач при помощи чертежей;

 развитие пространственного воображения.

В настоящее время чертежи используются практически во всех областях науки и техники. Ни одна, даже самая простая деталь не изготавливается без чертежа. «Чертеж является языком техники», – говорил один из создателей начертательной геометрии французский ученый и инженер Гаспар Монж (1746-1818). Причем этот язык является интернациональным, он понятен любому технически грамотному специалисту, независимо от того, на каком языке он говорит. Дополняя высказывание Монжа, профессор В.И.Курдюмов (1853-1904) – автор классического русского учебника начертательной геометрии – писал: «Если чертеж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элементами всякого изображения».

Нужно отметить, что начертательная геометрия и инженерная графика входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Без знания начертательной геометрии и инженерной графики невозможно усвоение технических и специальных дисциплин на следующих курсах обучения.

Центральная проекция и её свойства

Как уже было отмечено выше, методом начертательной геометрии является метод проекций. Сущность этого метода рассмотрим на примере центральной проекции. Пусть дана некоторая плоскость П', которую назовем плоскостью проекций, и вне её точка S, называемая центром проекций. Для построения проекции некоторой точки А проводят через неё и центр проекций S прямую SА, называемую проецирующей прямой, а затем находят точку пересечения этой прямой с плоскостью П' – точку А'. Эта точка и называется центральной проекцией точки А на плоскость П' (рис.1.1). Таков метод центрального проецирования точек. Проецирование можно выполнить для любой точки пространства, за исключением точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проекций S и параллельной плоскости проекций П'. За проекции таких точек принято считать бесконечно удаленные точки плоскости П', которые называются несобственными точками плоскости (рис.1.2). И только для центра проекций S проекцию построить нельзя, т.к. проецирующая прямая при этом становится неопределенной.

Рис.1.1. Центральная проекция Рис.1.2

Если задана какая-либо геометрическая фигура, то проекцией этой фигуры будет являться совокупность проекций всех её точек (рис.1.3).

Рис.1.3

Свойства центральной проекции:

  проекцией точки является точка;

 проекцией прямой линии является прямая линия;

 проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой.

Метод центрального проецирования слишком сложен и в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, т.к. не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому в технике этот метод не применяется, а используется лишь художниками при написании картин – метод перспективы (глаз человека устроен по типу центральной проекции).

3. Параллельная проекция и ее свойства

Параллельная проекция является частным случаем центральной, когда центр проекций S удален в бесконечность. При этом задается направление проецирования, параллельно которому проводятся проецирующие лучи. Пусть дана плоскость проекций П' и точка А (рис.1.4). Для построения проекции точки проведем через точку А проецирующую прямую параллельно заданному направлению проецирования S. Затем определим точку пересечения этой прямой с плоскостью П' – точку А′, которая называется параллельной проекцией точки А.

Рис.1.4. Параллельная проекция

Параллельная проекция кроме трех свойств центральной проекции обладает еще дополнительными свойствами:

проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые;

отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков;

проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Эти свойства параллельной проекции обеспечивают более простое построение чертежа, меньше искажающего форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией. Так в связи с сохранением параллельности прямых параллельной проекцией параллелограмма является параллелограмм, а трапеции – тоже трапеция, в то время как в центральной проекции эти фигуры проецируются в четырехугольники произвольного вида.

В зависимости от величины угла, образованного направлением проецирования S с плоскостью проекций П', параллельная проекция подразделяется на ортогональную (прямоугольную), когда угол равен 90°, и косоугольную в остальных случаях.

В ортогональной проекции нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок АВ образует с плоскостью проекций угол a, то, проведя АВ*||А'В' (рис.1.5), получим из прямоугольного треугольника АВ*В: АВ*=АВсоs(a) или А'В'=АВсоs(a).

Рис.1.5

Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, т.к. она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.

Рассмотренные выше методы проецирования однозначно решают прямую задачу – по данному оригиналу построить его проекционный чертеж. Однако обратная задача – по данному проекционному чертежу воспроизвести (реконструировать) оригинал – не решается однозначно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. точку А', например, можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через А (рис.1.1, 1.4). Таким образом, рассмотренные проекционные чертежи не обладают свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей нужно дополнить проекционный чертеж некоторыми данными. Существуют различные методы такого дополнения. В данном курсе мы будем рассматривать два вида обратимых чертежей, а именно, аксонометрические и комплексные чертежи в ортогональных проекциях.

В начертательной геометрии кривую линию часто рассматривают как траекторию описанную движущейся точкой. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Все точки плоской кривой принадлежат некоторой плоскости. Кривую не лежащую всеми точками в одной плоскости называют пространственной. Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения .
Начертательная геометрия в конструкторской работе