Начертательная геометрия Поверхности второго порядка Аксонометрические изображения Позиционные задачи Способ концентрических сфер Метрические задачи Способ вращения Построить пересечение конуса и призмы

Способ концентрических сфер.

Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей, когда в качестве поверхности-посредника используется сфера. При этом возможны два случая применения сфер:

вспомогательные сферы могут быть проведены из одного общего для всех сфер центра. В этом случае говорят о способе концентрических сфер,

вспомогательные сферы проводятся из разных центров. Этот способ называют способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер

Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Пусть заданы две образующие линии (два главных меридиана) -прямая l и дуга окружности m (рисунок 12-1). При вращении их вокруг оси i будут описаны соответственно цилиндрическая и торовая поверхности. Каждая точка заданных линий при вращении вокруг оси i описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.

Полученные поверхности пересекаются, причем линий пересечения будет столько, сколько точек пересечения имеют сами образующие линии (меридианы). Поскольку в нашем случае они пересекаются в двух точках, будет и две линии пересечения поверхностей, которые представляют собой окружности (параллели).

В частном случае одной из соосных поверхностей может быть сфера, если центр дуги окружности m находится на оси вращения i.

Таким образом, если центр сферы находится на оси некоторой поверхности вращения, то эта поверхность пересекается со сферой по окружностям. Это свойство и положено в основу способа вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер следует применять в случаях, когда соблюдаются следующие три условия:

пересекаются поверхности вращения или поверхности, содержащие семейства окружностей, по которым их могут пересекать концентрические сферы;

оси поверхностей вращения пересекаются;

поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Если же она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то необходимо произвести преобразование чертежа для достижения необходимых условий решения.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения (рисунок 12-2).

Сначала определим некоторые опорные точки. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то пересечение их контурных образующих в точках А и В определяет высшую и низшую точки линии пересечения.

Центр сфер 0 выбирают в месте пересечения осей цилиндра и конуса, т.к. только в этом случае сферы будут соосны с обеими поверхностями.

Определим радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax сфер, которые будем использовать при решении задачи. Rmax определяется расстоянием от точки 0 до самой удаленной опорной точки.

Для определения Rmin необходимо из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из них принимается в качестве Rmin, т.к. сфера такого радиуса будет касаться одной и пересекать вторую поверхность, что дает возможность найти общие для обеих поверхностей точки - точки линии пересечения. При радиусе сферы меньшем Rmin она не будет иметь общих точек с одной из поверхностей; построения теряют смысл.

Для построения случайных точек проводим сферы радиуса Rmin<R<Rmax,,находим линии пересечения их с конусом h и цилиндром m. Так как эти линии принадлежат поверхности одной сферы, то при пересечении они дают две точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Повторяя эти построения несколько раз (с разными радиусами сферы), можно найти необходимое количество точек, чтобы провести линию пересечения.

Для построения точек линии пересечения на виде сверху можно воспользоваться параллелями конуса. Полученные точки соединяем плавной линией и определяем ее видимость.

31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Указанный способ следует применять, если:

 пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии параллельную одной из плоскостей проекций;

 каждая поверхность содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения со сферой (рисунок12-3).

Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер. Каких?

Задачу можно решить как способом концентрических сфер, так и эксцентрических. Решим её вторым способом.

Центр сфер можно брать в любой точке оси конуса вращения. На рисунке 12-3 проведены три сферы радиусов RI, R2, R3. Каждая из этих сфер пересекается с каждой из данных поверхностей по окружности, точки пересечения которых будут точками линии пересечения.

На виде сверху точки находим с помощью параллелей конуса h¹,h²,h³.

 

 

 

 

 

Пример 2. Построить линию пересечения конуса вращения с тором (рисунок 12-4).

Эту задачу можно решить только способом эксцентрических сфер.

Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, в которой расположены ось конуса и линия центров тора.

Как и во всех задачах на пересечение поверхностей, вначале определяем опорные точки. Самая верхняя и правая - т. А, расположенная на пересечении контурных линий. Чтобы найти нижнюю и левую т. В (точку касания контурных линий конуса и тора), необходимо из т. О опустить перпендикуляр на контурную образующую конуса; их пересечение определяет т.В.

Для построения дополнительных точек выделим одну окружность –m принадлежащую поверхности тора.

Центры всех сфер, которые будут пересекаться с тором по этой окружности, будут лежать на прямой n1 данной окружности C1 перпендикулярно к её плоскости. Эта прямая пересечёт ось конуса (т.к. они лежат в одной плоскости) в т. 01. Эта точка будет центром сферы, которая пересечёт поверхность конуса по окружности h1. Окружности m1 и h1 пересекаются в точках 1 и 2, которые будут принадлежать линии пересечения.

Для нахождения дополнительных точек нужно взять новую окружность на поверхности тора и все действия повторить.

На виде сверху точки линии пересечения находят при помощи параллелей конуса h .

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвёртого порядка (т.е. пересекается с плоскостью в четырёх точках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей.

Особый интерес представляет случай, когда она распадается на пару кривых второго порядка (плоских). Это происходит, если поверхности имеют двойное прикосновение, т.е. касаются друг друга в двух точках (рисунок 12-5).

Признак касания поверхностей: если две поверхности в какой-либо общей для них точке имеют одну и ту же касательную плоскость (Г1 или Г2), то они касаются друг друга в этой точке. В нашем примере поверхности имеют двойное касание в точках А и В.

Плоские кривые, на которые в этом случае распадается их линия пересечения, проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (доказательство Н.Ф. Четверухина).

Следствием из положения о двойном прикосновении является следующее: если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (рисунок 12-6).

Это положение известно как теорема Гаспара Монжа.

32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка

Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить круговые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.

Для построения круговых сечений надо провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. В этом случае

линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые, а так как эти линии принадлежат сфере, то они будут являться окружностями.

Пример 3. Построить круговые сечения эллиптического цилиндра (рисунок 12-7).

Из произвольной точки оси цилиндра описываем сферу такого радиуса, чтобы она касалась двух образующих цилиндра (см. вид спереди) и пересекала его (см. вид сверху).

Точки А и В будут точками двойного прикосновения, т.к. в них можно провести общие касательные плоскости Г¹ и Г² к цилиндру и сфере.

Линия пересечения сферы с эллиптическим цилиндром будет состоять из двух плоских кривых - окружностей.


Пример 4. Построить круговые сечения эллиптического конуса

(рисунок 12-8).

Для этого опишем сферу из некоторого центра 0, лежащего на оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом и пересекала его.

Точки А и В - точки двойного прикосновения, т.к. можно провести две общие касательные плоскости Б и Д.

Линия пересечения распадается на пару окружностей.

Следовательно, если пересекать поверхность эллиптического конуса плоскостью под углом a к его оси, то получим в сечении окружность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В России начертательную геометрию впервые стали изучать с 1810 года в Институте корпуса инженеров путей сообщения (С-Петербург), а с 1830 года стали преподавать во всех высших учебных заведениях России. Первым русским ученым издавшим труд “Основания начертательной геометрии “ в 1821 году был профессор Р.А. Севастьянов.
Начертательная геометрия в конструкторской работе