Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

  Решение. Найдем частные производные функции  до второго порядка включительно:

   

В точке  имеем

   Подставляя эти выражения в формулу Тейлора, получаем

 

В форме Пеано

 Упражнения для самостоятельной работы.

  1.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке

  а)  

 б)

 в) .

2.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром

разложения в данной точке до членов указанного порядка

включительно

а) до членов второго порядка;

б)   до членов третьего порядка;

в)   до членов третьего порядка;

г)   до членов четвертого порядка;

д)   до членов второго порядка.

17.ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

  Определение. Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая   окрестность  точки , что  для любой точки .

 Точка  называется точкой локального экстремума, если она является либо точкой локального максимума, либо точкой локального минимума.

 Приведем еще одно определение максимума и минимума функции.

 Пусть  тогда

 .

Если   при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция  достигает максимума в точке .

Если   при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция  достигает минимума в точке .

 Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.

 Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если  - точка локального экстремума функции , имеющей непрерывные частные производные  в этой точке, то

 Доказательство. Дадим переменной  определенное значение . Тогда функция  будет функцией одной переменной . Так как при  она имеет экстремум, и имеет непрерывную производную , то  

Аналогично доказывается, что

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума.

  Пример. Функция  имеет производные

, которые обращаются в нуль при .

Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения.

 Точки, в которых  (или не существует) и  (или не существует), называются критическими точками функции .

 Точки, в которых все частные производные первого

порядка равны нулю, называются точками стационарности функции или стационарными точками.

 Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

  Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция  имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того, точка - стационарная, то есть  

 Обозначим

и . Тогда:

если , то в точке функция  имеет минимум;

если , то в точке функция  имеет максимум;

если , то экстремума в точке  нет;

если , то экстремум в этой точке может быть и

может не быть (требуется дальнейшее исследование).

 Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции

   

+

 +,

  где  По условию - точка стационарности, поэтому . Из формулы Тейлора следует

 

 +.

  Используя введенные обозначения, запишем

 .

Выражение в квадратных скобках, то есть второй дифференциал , является квадратичной формой от   . Если выполнено условие , то квадратичная форма сохраняет постоянный знак. Этот знак совпадает со знаком  в некоторой окрестности точки , поскольку - величина бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если:

 1) то  и  при любых достаточно

малых . Следовательно, при  в точке

функция  имеет минимум;

 2)  то  и  при любых

достаточно малых . Следовательно, при  в точке функция  имеет максимум;

 3) если  то может принимать как

положительные, так и отрицательные значения, поэтому экстремума в точке   нет;

4)если , то и при

 знак приращения функции определяется последующими слагаемыми в формуле Тейлора, поэтому требуется дополнительное исследование.

Производные и дифференциалы. Методы интегрирования. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Генеральная и выборочная совокупности. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
Математика лекции функции нескольких переменных