Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

  Решение. Сначала находим частные производные первого порядка   Затем, вычисляя частные производные от частных производных первого порядка, получаем частные производные второго порядка данной функции 

  Заметим, что в рассмотренном примере

 Справедлива следующая

 Теорема. Если все входящие в вычисления частные производные, рассматриваемые как функции своих независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

 Например, если  непрерывны, то

 Пример. Найти , если .

 Решение. Найдем сначала . Вычисляя теперь по

формуле Лейбница вторую производную по  от , получаем: =

 =

  Упражнения для самостоятельной работы:

 Найти частные производные указанного порядка:

 а) , если  

 б) , если  

 в) , если  г) , если  

 д) , если  

 е) , если

 ж) , если  

 15.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 Дифференциалом первого порядка функции  называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов:

 .

 Дифференциалом второго порядка  функции

называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных

при фиксированных значениях , то есть

 Замечание.  рассматривается как функция только независимых переменных . При вычислении дифференциалов от приращения независимых переменных  берутся такими же, как и в выражении для , то есть равными

 Найдем вид второго дифференциала:

 

++

Последнюю формулу можно записать в более компактном виде. Символ назовем оператором дифференциала. При действии этого оператора на функцию  получается дифференциал функции . Определим ную степень оператора дифференциала как ную степень двучлена . В частности, при

  получаем

  .

При действии оператора  на функцию  получится второй дифференциал функции. Таким образом, второй дифференциал можно записать в операторном виде:

 .

 Дифференциал  произвольного го порядка функции  определяется индуктивно по формуле  Для  справедлива операторная формула

 .

 Если  являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-либо независимых переменных, то последняя формула при   становится, вообще говоря, неверной из-за неинвариантности формы дифференциалов высших порядков. В частности, при   имеем

 .

 В случае функции  независимых переменных  дифференциал го порядка определяется индуктивно. Оператор дифференциала имеет вид  и справедлива операторная формула

 

 Пример. Найти второй дифференциал функции  в точке .

 Решение. Вычисляем частные производные второго порядка данной функции

. В указанной точке, получим

 .

Подставляя эти значения формулу второго дифференциала, находим

16.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ

 ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Теорема. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до  порядка включительно в некоторой окрестности точки . Тогда для любой точки  из этой окрестности справедливо равенство

 

где - некоторая точка, лежащая на отрезке , . Последнее слагаемое (остаточный член) можно записать в форме Пеано  где , а символ означает бесконечно малую при  (или при )функцию более высокого порядка малости, чем .

 Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , определенную на отрезке , причем  Найдем производные функции  до -го порядка включительно:

 

 …

.

По формуле Маклорена для функции  одной переменной имеем:

 , где

Полагая ,  получим

 .

С учетом того, что , ,  имеем

 

В частности,

+

+.

  Остаточный член

  можно

  записать в виде , где

 .

Производные и дифференциалы. Методы интегрирования. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Генеральная и выборочная совокупности. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
Математика лекции функции нескольких переменных