Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Вычислить частные производные функции 

 Решение.

=

=

  Если функция , где функции  зависят от одного аргумента :  тогда функция  фактически зависит от одной переменной и можно находить полную производную :

 ,

но , а функции  зависят от одного аргумента , то частные производные обращаются в обыкновенные

 .

12.ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

  Пусть . Найдем полный дифференциал сложной функции:

 , но ,

 , поэтому

 

 

или .

Мы показали, что выражения полного дифференциала

функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеют одинаковый вид, если  - независимые переменные или функции независимых переменных. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью формы первого дифференциала.

13.ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

 Теорема. Пусть непрерывная функция  от  задается неявно уравнением , где - непрерывные функции в некоторой области, содержащей точку , координаты которой удовлетворяют уравнению , кроме того, Тогда

  

 Доказательство. Дадим приращение , тогда  получит приращение  и . Тогда

 ,

следовательно, 

Переходя к пределу при  получим

 .

 Пример. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

 Решение. Обозначим . Вычислим частные производные , тогда

 Рассмотрим уравнение вида . Если каждой паре чисел  из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению. Тогда это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций  от , частные производные неявной функции имеют вид:

   при .

14.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

  Пусть . Частные производные  являются функциями от переменных . В некоторых случаях для этих функций снова существуют частные производные, называемые частными производными второго порядка:

 

 - смешанные производные второго порядка.

 Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка

 

Частная производная го порядка  получается, если

функцию   раз продифференцировать по переменной ,

 а затем  раз по .

Производные и дифференциалы. Методы интегрирования. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Генеральная и выборочная совокупности. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
Математика лекции функции нескольких переменных