Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Ряды

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:

А)  Б)  В)

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд   сходится при  и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд  Проверим необходимое условие сходимости: если ряд   сходится, то .

Поскольку  , необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда  можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел  то положительные ряды  и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при  и расходящийся для  При  получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

 

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд  также сходится.

Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:

1)  2) 

Решение.

1. Рассмотрим ряд  .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

 сходится при условии:

 1)

 2) .

Так как  и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если  то положительный ряд  сходится при  и расходится, когда

Поскольку

,

ряд  сходится, следовательно, ряд  сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд  .

Условия признака Лейбница выполняются:

1)  2)  Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин  Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд  сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится  (здесь  при  - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд  сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

 или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при  ряд расходится. На концах интервала – в точках  поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках  и .

При  исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При  получаем знакочередующийся ряд  Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24. Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции 

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты  и . Так как , получим

Так как  можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы