Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Задача 15. Вычислить

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю  будет соответствовать сумма  множителю  - дробь . Тогда получим разложение

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю  и приравняем числители получившихся дробей:

Найдем А, В, С, D. Согласно методу частных значений

(см. задачу 14) полагаем , тогда равенство примет вид  откуда . Далее применяем метод неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

Так, для х получим равенство  откуда ; для  имеем , откуда ; для  получим , откуда

Итак,

Вычисляем интеграл

Задача 16. Вычислить , если l задана уравнением

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Получим

Согласно формуле (20)

Тогда

Задача 17. Найти массу дуги кривой , если плотность кривой 

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой

 

на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

где

Тогда

Задача 19. Вычислить , если D ограничена линиями

Решение. На рисунке построена область D – криволинейный треугольник.

1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):

Здесь

поэтому

2 способ. Можно использовать формулу (34):

Тогда 

Значит,

Задача 20. Вычислить ,

где D – правая половина кольца (см. рисунок).

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

Здесь .

Так как  (формулы перехода к полярным координатам), то  

Тогда уравнения окружностей  и  принимают вид  

Следовательно,

Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы