Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .

Решение. Кривая задана в полярной системе координат, поэтому длина дуги вычисляется по формуле

.

Найдем . Подставляя в формулу, получим


4 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Определение первообразной функции. Геометрический смысл совокупности первообразных функций.

Определение неопределенного интеграла.

Основные интегралы.

Свойства неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования:

– метод непосредственного интегрирования;

– метод подведения под знак дифференциала;

– метод интегрирования подстановкой;

– метод интегрирования по частям;

–  метод интегрирования дробей, содержащих квадратный трех-член в знаменателе;

–  интегрирование простейших рациональных дробей I–IV типов;

– разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби; интегрирование рациональной дроби;

– интегрирование иррациональных функций;

– интегрирование тригонометрических функций.

Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл.

Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лей-бница.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

 Определение несобственного интеграла первого рода.

  Определение несобственного интеграла второго рода.

 Вычисление площади плоской фигуры.

 Вычисление длины дуги кривой.

 Вычисление объема тела вращения.

 Вычисление площади поверхности вращения.

 


ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

 Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим  Найдем

 Тогда

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

 (- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим  

Тогда

Получаем

Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы