Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком  оси , справа и слева прямыми  и  (рисунок 6), находится по формуле

. (30)

Рисунок 6 – Криволинейная трапеция

Рисунок 7 – Фигура, ограниченная линиями , ,

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть  (рисунок 7), то площадь может быть найдена по формуле

. (31)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  ( для любого ), прямыми  и  (рисунок 8), можно найти по формуле

 . (32)

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком  оси , снизу и сверху прямыми   и  (рисунок 9), то ее площадь находится по формуле

. (33)

Рисунок 8 – Фигура, ограниченная линиями , ,  и

Рисунок 9 – Криволинейная трапеция, расположенная относительно оси

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

,

то ее площадь находится по формуле

. (34)

Пример 49. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,  (рисунок 10).

Рисунок 10 – Криволинейная трапеция

Решение. Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, воспользуемся формулой :

 (кв.ед.).

Пример 50. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и  (рисунок 11).

Рисунок 11 – Изображение плоской фигуры, ограниченной линиями и

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых

Таким образом, точки пересечения  и .

Фигура, ограниченная параболами  и , симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить половину площади данной фигуры и полученный результат умножить на 2. Для нахождения площади воспользуемся формулой :

 (кв.ед.).

Пример 51. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ,  (рисунок 12).

Рисунок 12 – Эллипс

Решение. Найдем площадь  области, и полученный результат умножим на 4.

Воспользуемся формулой . Так как значение  изменяется от 0 до , то  значение изменяется от  до , тогда

(кв.ед.).

Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы