Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение.

при , при  

(см. рисунок 4).

Итак,  сходится и равен .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции

(второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция  определена и непрерывна в ,  и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

 . (26)

Предел этого интеграла при  называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

 . (27)

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл  сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл  расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода  (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 5).

Если функция  имеет бесконечный разрыв в точке , то

. (28)

Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода

Если функция  имеет разрыв во внутренней точке  отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

 . (29)

Интеграл  сходится, если оба несобственных интеграла  и  сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке  не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно,  расходится.

Пример 48. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция  терпит разрыв во внутренней точке отрезка  . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , ,  сходятся при  и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы