Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение.

при , при  

(см. рисунок 4).

Итак,  сходится и равен .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции

(второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция  определена и непрерывна в ,  и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

 . (26)

Предел этого интеграла при  называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

 . (27)

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл  сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл  расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода  (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 5).

Если функция  имеет бесконечный разрыв в точке , то

. (28)

Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода

Если функция  имеет разрыв во внутренней точке  отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

 . (29)

Интеграл  сходится, если оба несобственных интеграла  и  сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке  не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно,  расходится.

Пример 48. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция  терпит разрыв во внутренней точке отрезка  . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , ,  сходятся при  и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы