Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Определение 9. Пусть функция  определена и непрерывна на промежутке . Тогда существует определенный интеграл . При изменении значения  интеграл изменяется, он является непрерывной функцией . Предел этого интеграла при  называется несобственным интегралом первого рода от функции  на промежутке :

 . (23)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то  называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

  . (24)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется так:

, (25)

где  – произвольное число.

Данный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов в правой части равенства расходится, то и   расходится.

Если непрерывная функция на промежутке  и интеграл  сходятся, то он выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями ,  и осью абсцисс (рисунок 3).

Рисунок 3 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла первого рода

Пример 41. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Имеем

при  ,

рисунок 4.

Рисунок 4 – График функции

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Пример 42. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

то есть  расходится.

Пример 43. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

Но  при  не стремится ни к какому пределу, а поэтому  не существует и  расходится.

Пример 44. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Пусть , тогда

.

Таким образом,  – расходится.

Пусть , тогда

так как , то при  , а ,

то есть при   сходится и равен .

Пусть , тогда

так как , то , а ,

тогда при , то есть при   расходится.

Итак, имеем

Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы