Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример 23. Найти интеграл .

Решение.

а) Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

.

б) Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Квадратный трехчлен  не имеет действительных корней.

в) Правую часть приведем к общему знаменателю, тогда получим

.

Данные дроби равны, если тождественно равны их числители:

.

Преобразуем:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

Итак, имеем

.

г) Интегрируем полученное равенство:

Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

2.7 Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно-метрических функций.

  Интегралы вида

Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы.

2.7.1.1 Если хотя бы одно из чисел  и  – нечетное целое положительное число, например, , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют так:

В итоге получается

то есть получен интеграл от степенной функции.

Пример 24. Найти интеграл .

Решение.

Если , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют анало-гично предыдущему случаю:

Пример 25. Найти интеграл .

Решение.

2.7.1.3 Если ,  – целые неотрицательные четные числа, то в этом случае используют формулы понижения степени

, , .

Пример 26. Найти интеграл .

Решение.

в первом интеграле у функции степень четная, используем формулу понижения степени . Во втором интеграле используем метод подведения под знак дифференциала:

2.7.1.4 Если – четное отрицательное целое число, тогда используют подстановку , а . При данной подста-новке

, , , .

В некоторых случаях удобнее сделать подстановку

, .

Пример 27. Найти интеграл .

Решение.

 – четное отрицатель-ное целое число. Используем подстановку

.

2.7.2 Интегралы вида  и , где ,  – рациональные функции

В первом случае делают подстановку , . Во втором – , а , тогда .

Пример 28. Найти интеграл .

Решение.

, тогда

2.7.3 Интегралы вида

Здесь  – рациональная функция от синуса и коси-нуса. Для нахождения данного интеграла используют универсальную тригонометрическую подстановку: , тогда ,

, , .

В результате данной подстановки получают интеграл рацио-нальной функции от переменной :

.

Данную подстановку рекомендуется применять, если  и  входят в функцию в нечетной степени.

Пример 29. Найти интеграл .

Решение. Применяя подстановку , получим

в знаменателе выделим полный квадрат:

.

На практике универсальная подстановка иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому если функция  – четная относительно синуса и косинуса, то удобнее применить подстановку , , , , .

Пример 30. Найти интеграл .

Решение. Функция  является четной относительно синуса и косинуса, то есть

Применим подстановку , получим

в знаменателе выделим полный квадрат:

2.7.4 Интегралы вида

В данном случае применяют подстановку , , .

Пример 31. Найти интеграл .

Решение. Применим к данному интегралу подстановку , получим . Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь . Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби , а данный интеграл в виде суммы трех интегралов:

2.7.5 Интегралы вида , ,

Подынтегральные функции в данных интегралах преобразуются с помощью тригонометрических формул:

 , (12)

 , (13)

 . (14)

Пример 32. Найти интеграл .

Решение. Применим к подынтегральной функции формулу (14), получим

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы