Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример. Найти интеграл .

Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:

2.5.3 Рассмотрим интеграл вида

К данному интегралу применим преобразования, рассмотренные в пункте 2.5.1, тем самым сведем интеграл к табличному.

Сделаем подстановку: ,  и получим интегралы вида:

если , то ;

если , то ,

где .

2.5.4 Интеграл вида  находится аналогично интегралу вида .

Пример 17. Найти интеграл .

Решение. Выделим в числителе производную квадратного трех-члена , тогда .

Преобразуем подынтегральную функцию

2.6 Интегрирование рациональных функций

Определение 3. Функция вида

,

где – натуральное число,  – постоянные коэффициенты, назы-вается многочленом или целой рациональной функцией. Число  – степень многочлена.

Определение 4. Корнем многочлена  называется такое значение , при котором многочлен обращается в нуль, то есть .

Теорема 2. Если  – корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , то есть

,

где  – многочлен степени .

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен -й степени имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

Теорема 4. Всякий многочлен  можно представить в виде

,

где , , …,  – корни многочлена;

 – коэффициент многочлена при .

Теорема 5. Два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Теорема 6. Если многочлен  с действительными коэффици-ентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Теорема 7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля, с действительными коэффициентами, то есть

При этом . Все квадрат-ные трехчлены не имеют действительных корней. Например, разложим на множители многочлены:

;

;

.

2.6.1 Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть

,

где  – многочлен степени ;

 – многочлен степени .

Определение 5. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

2.6.2 Правильные рациональные дроби

I) ;

II)

III)

IV)

Определение 6. Дроби вида I–IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен  не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей вида I–IV не составляет большой трудности.

I) .

II)

III). В числителе выделим производную квадрат-ного трехчлена и преобразуем числитель:

, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней

.

IV)в числителе выделим производную квад-ратного трехчлена , тогда

во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

. Введем новую переменную  , обозначим

.

Интеграл  берем по рекуррентной формуле

.

Пример 18. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 19. Найти интеграл .

Решение.

Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

,

можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

где , , …, , , …, , , …, , , … – некоторые действительные коэффициенты.

1. Линейным множителям  будут соответствовать простей-шие дроби I-II типа.

2. Квадратным множителям  будут соответствовать простей-шие дроби III-IV типа.

3. Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю , равно степени, в которой этот множи-тель входит в разложение .

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы