Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Пример. Найти интеграл .

Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:

2.5.3 Рассмотрим интеграл вида

К данному интегралу применим преобразования, рассмотренные в пункте 2.5.1, тем самым сведем интеграл к табличному.

Сделаем подстановку: ,  и получим интегралы вида:

если , то ;

если , то ,

где .

2.5.4 Интеграл вида  находится аналогично интегралу вида .

Пример 17. Найти интеграл .

Решение. Выделим в числителе производную квадратного трех-члена , тогда .

Преобразуем подынтегральную функцию

2.6 Интегрирование рациональных функций

Определение 3. Функция вида

,

где – натуральное число,  – постоянные коэффициенты, назы-вается многочленом или целой рациональной функцией. Число  – степень многочлена.

Определение 4. Корнем многочлена  называется такое значение , при котором многочлен обращается в нуль, то есть .

Теорема 2. Если  – корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , то есть

,

где  – многочлен степени .

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен -й степени имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

Теорема 4. Всякий многочлен  можно представить в виде

,

где , , …,  – корни многочлена;

 – коэффициент многочлена при .

Теорема 5. Два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Теорема 6. Если многочлен  с действительными коэффици-ентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Теорема 7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля, с действительными коэффициентами, то есть

При этом . Все квадрат-ные трехчлены не имеют действительных корней. Например, разложим на множители многочлены:

;

;

.

2.6.1 Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть

,

где  – многочлен степени ;

 – многочлен степени .

Определение 5. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

2.6.2 Правильные рациональные дроби

I) ;

II)

III)

IV)

Определение 6. Дроби вида I–IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен  не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей вида I–IV не составляет большой трудности.

I) .

II)

III). В числителе выделим производную квадрат-ного трехчлена и преобразуем числитель:

, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней

.

IV)в числителе выделим производную квад-ратного трехчлена , тогда

во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

. Введем новую переменную  , обозначим

.

Интеграл  берем по рекуррентной формуле

.

Пример 18. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 19. Найти интеграл .

Решение.

Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

,

можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

где , , …, , , …, , , …, , , … – некоторые действительные коэффициенты.

1. Линейным множителям  будут соответствовать простей-шие дроби I-II типа.

2. Квадратным множителям  будут соответствовать простей-шие дроби III-IV типа.

3. Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю , равно степени, в которой этот множи-тель входит в разложение .

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы