Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Метод подведения под знак дифференциала

Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала:

. (2)

При сведении интеграла к табличному используют следующие преобразования:

,

,

,

,

,

где а и b – постоянные числа.

Например, .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что дифференциал от функции, стоящей под знаком корня, имеет вид . В подынтегральном выражении есть , то есть это . Тогда получим

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что в подынтегральном выражении есть функция  и ее производная . Тогда выражение   является дифференциалом функции , то есть . Используя метод подведения под знак дифференциала, найдем интеграл

.

2.3 Метод интегрирования подстановкой

Данный метод заключается во введении новой переменной интегрирования, при этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или сводящимся к нему.

Пусть требуется найти интеграл , сделаем подстановку , где  – монотонная, имеющая непрерывную производную функция. Тогда  и формула интегрирования подстановкой будет иметь вид

. (3)

После нахождения интеграла следует перейти от новой перемен-ной интегрирования   к старой переменной .

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла сделаем подстановку , тогда

,

.

Интеграл примет вид

= вернемся к старой переменной . Так как , то =.

Используя тригонометрическую формулу

,

преобразуем выражение

Итак,

Иногда удобно сделать подстановку в виде , тогда получим формулу

.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , отсюда найдем , .

Итак,

2.4 Интегрирование по частям

Пусть  и  – дифференцируемые функции. Известно, что дифференциал произведения  вычисляется по формуле . Проинтегрируем данное равенство . Используя свойства интеграла, будем иметь , отсюда

. (4)

Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей  и , причем за  принимают такой множитель, от которого можно найти интеграл.

Основные виды интегралов, которые берутся по частям, представлены в таблице (  – многочлен степени ).

Таблица 1 ­– Основные виды интегралов, которые берутся по частям

Интеграл

=(x)

dv

1

2

3

4


I

II

III

В данных интегралах за  можно принять любую функцию.

Интегрируют два раза и приводят подобные интегралы

Продолжение таблицы 1

1

2

3

4

IV

V

Некоторые другие виды интегралов также можно находить методом интегрирования по частям.

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы