Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Метод подведения под знак дифференциала

Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала:

. (2)

При сведении интеграла к табличному используют следующие преобразования:

,

,

,

,

,

где а и b – постоянные числа.

Например, .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что дифференциал от функции, стоящей под знаком корня, имеет вид . В подынтегральном выражении есть , то есть это . Тогда получим

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Заметим, что в подынтегральном выражении есть функция  и ее производная . Тогда выражение   является дифференциалом функции , то есть . Используя метод подведения под знак дифференциала, найдем интеграл

.

2.3 Метод интегрирования подстановкой

Данный метод заключается во введении новой переменной интегрирования, при этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или сводящимся к нему.

Пусть требуется найти интеграл , сделаем подстановку , где  – монотонная, имеющая непрерывную производную функция. Тогда  и формула интегрирования подстановкой будет иметь вид

. (3)

После нахождения интеграла следует перейти от новой перемен-ной интегрирования   к старой переменной .

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла сделаем подстановку , тогда

,

.

Интеграл примет вид

= вернемся к старой переменной . Так как , то =.

Используя тригонометрическую формулу

,

преобразуем выражение

Итак,

Иногда удобно сделать подстановку в виде , тогда получим формулу

.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , отсюда найдем , .

Итак,

2.4 Интегрирование по частям

Пусть  и  – дифференцируемые функции. Известно, что дифференциал произведения  вычисляется по формуле . Проинтегрируем данное равенство . Используя свойства интеграла, будем иметь , отсюда

. (4)

Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей  и , причем за  принимают такой множитель, от которого можно найти интеграл.

Основные виды интегралов, которые берутся по частям, представлены в таблице (  – многочлен степени ).

Таблица 1 ­– Основные виды интегралов, которые берутся по частям

Интеграл

=(x)

dv

1

2

3

4


I

II

III

В данных интегралах за  можно принять любую функцию.

Интегрируют два раза и приводят подобные интегралы

Продолжение таблицы 1

1

2

3

4

IV

V

Некоторые другие виды интегралов также можно находить методом интегрирования по частям.

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы