Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Неопределенный и определенный интегралы

 Понятие неопределенного интеграла

Определение 1. Функция  называется первообразной функ-ции  на интервале , если для любого  выполняется равенство

.

Например, первообразной функции  является функ-ция , так как .

Очевидно, что , где  – постоянное слагаемое, также является первообразной функции , так как .

Теорема 1. Если функция  является первообразной функции  на , то множество всех первообразных для  задается формулой , где  – постоянное число.

Определение 2. Множество всех первообразных функций  для  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

Таким образом, по определению

  . (1)

Здесь  – подынтегральная функция;

 – подынтегральное выражение;

 – переменная интегрирования;

– знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Результат интегрирования проверяется дифференцированием.

 Основные свойства неопределенного интеграла

 Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-ной функции:

.

 Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын-тегральному выражению:

.

 Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

,

в частности, .

 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

,

где  – .

 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конеч-ного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интег-ралов от каждого слагаемого:

.

 Если  и  – дифференцируемая функция, то

,

то есть формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независи-мой переменной или любой функцией, имеющей непрерывную произ-водную.

 

  Правила интегрирования

Если , то

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

1.4 Основные интегралы

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.1 Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к табличному интегралу, называется непосредственным интегрированием.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. числитель поч-ленно разделим на знаменатель и запишем данный интеграл в виде разности двух интегралов

.

Сделаем проверку, для чего найдем производную от результата интегрирования:

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл нашли правильно.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. 

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы