Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Такая система, записанная в нормальной форме, имеет вид

, .

(1.33)

Введем обозначения

, , .

Тогда систему можно записать в векторной форме

.

(1.34)

Если , то систему

.

(1.35)

называют однородной. В противном случае ее называют неоднородной. Если коэффициенты aij не зависят от времени, то систему называют системой с постоянными коэффициентами.

Если известно общее решение  однородной системы (1.35), и какое-либо частное решение  неоднородной системы (1.34), то их сумма:

является общим решением неоднородной системы.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде

,,

где .

Подставляя функции xi в систему (c), получим

, .

Сокращая на  и перенося все слагаемые в левую часть, придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов j:

, .

(1.36)

Определитель матрицы коэффициентов этой системы:

.

Ненулевые решения возможны только тогда, когда он равен нулю. Алгебраическое уравнение n-й степени

называется характеристическим уравнением системы (с). Это уравнение имеет ровно n действительных или комплексных корней i (считая с кратными), называемых собственными значениями однородной системы. Каждому корню соответствуют n собственных функций

,

где ik определяются из системы (1.36); при этом один из коэффициентов ik берется произвольно, так как в системе (1.36) только   независимых уравнений. Если эти собственные функции линейно независимы, то общим решением однородной системы будет их линейная комбинация

,

содержащая n произвольно выбранных коэффициентов.

Пример. Решить систему:

.

Ее характеристическое уравнение

.

,

откуда . Подставляя найденные корни в систему (1.36), получим

.

Определитель этой системы равен нулю и одно из уравнений является следствием другого. Полагая , из первого уравнения получим: . Аналогично можно найти: , . Первому корню соответствует решение

,

второму корню – решение

,

комплексно сопряженное с первым.

За систему частных решений можно взять отдельно действительные или мнимые части. Общее решение имеет вид:

.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.
Математика лекции функции нескольких переменных