Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Такая система, записанная в нормальной форме, имеет вид

, .

(1.33)

Введем обозначения

, , .

Тогда систему можно записать в векторной форме

.

(1.34)

Если , то систему

.

(1.35)

называют однородной. В противном случае ее называют неоднородной. Если коэффициенты aij не зависят от времени, то систему называют системой с постоянными коэффициентами.

Если известно общее решение  однородной системы (1.35), и какое-либо частное решение  неоднородной системы (1.34), то их сумма:

является общим решением неоднородной системы.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде

,,

где .

Подставляя функции xi в систему (c), получим

, .

Сокращая на  и перенося все слагаемые в левую часть, придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов j:

, .

(1.36)

Определитель матрицы коэффициентов этой системы:

.

Ненулевые решения возможны только тогда, когда он равен нулю. Алгебраическое уравнение n-й степени

называется характеристическим уравнением системы (с). Это уравнение имеет ровно n действительных или комплексных корней i (считая с кратными), называемых собственными значениями однородной системы. Каждому корню соответствуют n собственных функций

,

где ik определяются из системы (1.36); при этом один из коэффициентов ik берется произвольно, так как в системе (1.36) только   независимых уравнений. Если эти собственные функции линейно независимы, то общим решением однородной системы будет их линейная комбинация

,

содержащая n произвольно выбранных коэффициентов.

Пример. Решить систему:

.

Ее характеристическое уравнение

.

,

откуда . Подставляя найденные корни в систему (1.36), получим

.

Определитель этой системы равен нулю и одно из уравнений является следствием другого. Полагая , из первого уравнения получим: . Аналогично можно найти: , . Первому корню соответствует решение

,

второму корню – решение

,

комплексно сопряженное с первым.

За систему частных решений можно взять отдельно действительные или мнимые части. Общее решение имеет вид:

.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.
Математика лекции функции нескольких переменных