Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Пример Динамика популяции.

Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.

В основе модели Мальтуса лежит утверждение о том, что скорость изменения численности N населения пропорциональна самой численности, умноженной на разность неотрицательных констант – коэффициентов рождаемости  и смертности :

.

(1.24)

Частное решение (1.24) при начальном условии  имеет вид:

.

Модель (1.24) совпадает с моделью (1.22) радиоактивного распада, однако при  допускает и экспоненциально возрастающие решения. Если  (рождаемость равна смертности), то численность населения остается постоянной, однако это равновесие неустойчиво: малейшее нарушение равенства приводит с течением времени ко все большему отличию функции  от первоначального значения .

Пример 1.12.3. Уравнение Циолковского.

Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс системы есть величина постоянная:

.

Используем этот закон для моделирования реактивного движения тела переменной массы. Пусть продукты сгорания топлива покидают ракету с постоянной относительно нее скоростью . Пусть в некоторый момент времени импульс ракеты был равен mv (подразумевается, что единственная ось координат сонаправлена скорости ракеты; тогда скорость продуктов сгорания относительно Земли отрицательна), а после прохождения бесконечно малого отрезка времени dt стал равен . Тогда закон сохранения импульса можно записать в виде

,

где  – импульс продуктов сгорания,  – их скорость относительно Земли.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим:

,

,

,

.

Для определения постоянной интегрирования учтем, что начальная скорость ракеты была равна нулю, а ее начальная масса

складывалась из полезной mu и структурной ms масс (в структурную массу включается масса топлива и всех элементов, не предназначенных для вывода на орбиту). Имеем:

,

,

.

Окончательно:

.

(1.25)

Соотношение (1.25), полученное в предположении об отсутствии гравитации и сопротивления воздуха, позволяет сделать ряд выводов о конструкции ракеты. Для современных ракетных двигателей скорость u истечения продуктов сгорания составляет около 3 км/с. Пусть структурная масса на порядок превышает полезную. Тогда максимально достижимая скорость:

 км/с.

Поэтому даже в идеальных условиях одноступенчатая ракета не способна достичь первой космической скорости. Причина этого – затраты топлива на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы.

Рассмотренные выше модели отличаются простотой, связанной с их линейностью – отклик объекта на изменение каких-либо параметров соразмерен величине этого изменения (например, двукратное увеличение скорости истечения продуктов сгорания влечет за собой соответствующее увеличение скорости ракеты).

Для нелинейных моделей знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а отклик объекта на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Большинство реальных процессов и соответствующих им моделей нелинейны; линейные модели служат лишь первым приближением к реальности. Например, модель динамики популяции становится нелинейной, если принять во внимание ограниченность доступных ресурсов. Положим, что существует некоторая равновесная Ne численность популяции, которую может обеспечить окружающая среда, а скорость изменения численности пропорциональна ее величине, умноженной на отклонение от равновесного значения:

.

(1.26)

Частное решение этого уравнения, соответствующее начальному условию , имеет вид

.

Последняя зависимость называется логистической: при любом значении N0 начальной численности ее величина N стремится к равновесному Ne значению, причем тем медленнее, чем ближе численность к этому значению. Поэтому здесь, в отличие от модели (1.24), равновесие устойчиво.

Модель динамики популяции становится нелинейной и в том случае, если коэффициенты рождаемости и смертности переменны. Пусть, например, рождаемость пропорциональна численности; тогда уравнение (1.24) преобразуется к виду

,

(1.27)

где  и  – положительные константы.

Частное решение (1.27) при начальном условии  имеет вид

.

Если , то предэкспоненциальный множитель в знаменателе положителен, и численность монотонно уменьшается, стремясь к нулю. Если , то численность не зависит от времени. Если , то характер решения изменяется: численность растет со временем настолько быстро, что обращается в бесконечность за конечное время

,

тем меньшее, чем больше начальное значение численности.

Модели второго порядка

К дифференциальным уравнениям второго порядка приводят задачи, в которых искомая величина связана со скоростью изменения скорости этой величины.

Вновь обратимся к движению частицы массы m на пружине, точка крепления которой движется по закону . Действующая на частицу сила

направлена к положению равновесия и пропорциональна удлинению пружины.

Пусть также со стороны внешней среды на частицу действует сила трения, пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению:

, .

Найдем закон движения частицы. На основании основного закона динамики:

,

.

Далее производную по времени мы будем обозначать точкой:

, .

Введем обозначения: , , . Закон движения примет вид

.

(1.28)

Неоднородное уравнение (1.28) называется уравнением вынужденных колебаний. Соответствующее однородное уравнение

(1.29)

называется уравнением свободных колебаний. Движение частицы определяется типом корней характеристического уравнения

,

,

которые, в свою очередь, зависят от соотношения массы частицы, силы трения и упругости пружины.

Пусть . Тогда характеристическое уравнения имеет два действительных различных отрицательных корня. Общее решение уравнения свободных колебаний:

;

отклонение монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Если , то характеристическое уравнение имеет один двукратный отрицательный корень . Общее решение:

Отклонение также асимптотически стремится к нулю.

Пусть сила сопротивления отсутствует. Тогда характеристическое уравнение

имеет пару мнимых корней . Закон движения принимает вид

,

или

,

где амплитуда A и начальная фаза  равны

,

Пусть ,  (сила сопротивления незначительна). В этом случае характеристическое уравнение также имеет мнимые корни; обозначая

,

получим

,

.

Последнее уравнение описывает затухающие колебания.

Обратимся к неоднородному уравнению вынужденных колебаний. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

.

Уравнение принимает вид

.

(1.30)

Если трение невелико (, ), то общее решение этого уравнения

.

Первое слагаемое при  стремится к нулю (по истечении достаточно большого промежутка времени свободными колебаниями на собственной частоте  можно пренебречь). Второе слагаемое xr описывает вынужденные колебания. Частота  этих колебаний совпадает с частотой  вынуждающей силы.

Амплитуда A* вынужденных колебаний возрастает с уменьшением трения. Считая амплитуду функцией частоты вынуждающей силы, исследуем ее на экстремум. После всех преобразований:

, при .

Если трение мало, то правая часть последнего равенства близка к единице, и максимальное значение амплитуды достигается при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний. Указанный случай соответствует явлению резонанса: через некоторый промежуток времени амплитуда колебаний частицы возрастает до значений, значительно превышающих амплитуду вынуждающей силы.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.

Курс электрических цепей