Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример Динамика популяции.

Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.

В основе модели Мальтуса лежит утверждение о том, что скорость изменения численности N населения пропорциональна самой численности, умноженной на разность неотрицательных констант – коэффициентов рождаемости  и смертности :

.

(1.24)

Частное решение (1.24) при начальном условии  имеет вид:

.

Модель (1.24) совпадает с моделью (1.22) радиоактивного распада, однако при  допускает и экспоненциально возрастающие решения. Если  (рождаемость равна смертности), то численность населения остается постоянной, однако это равновесие неустойчиво: малейшее нарушение равенства приводит с течением времени ко все большему отличию функции  от первоначального значения .

Пример 1.12.3. Уравнение Циолковского.

Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс системы есть величина постоянная:

.

Используем этот закон для моделирования реактивного движения тела переменной массы. Пусть продукты сгорания топлива покидают ракету с постоянной относительно нее скоростью . Пусть в некоторый момент времени импульс ракеты был равен mv (подразумевается, что единственная ось координат сонаправлена скорости ракеты; тогда скорость продуктов сгорания относительно Земли отрицательна), а после прохождения бесконечно малого отрезка времени dt стал равен . Тогда закон сохранения импульса можно записать в виде

,

где  – импульс продуктов сгорания,  – их скорость относительно Земли.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим:

,

,

,

.

Для определения постоянной интегрирования учтем, что начальная скорость ракеты была равна нулю, а ее начальная масса

складывалась из полезной mu и структурной ms масс (в структурную массу включается масса топлива и всех элементов, не предназначенных для вывода на орбиту). Имеем:

,

,

.

Окончательно:

.

(1.25)

Соотношение (1.25), полученное в предположении об отсутствии гравитации и сопротивления воздуха, позволяет сделать ряд выводов о конструкции ракеты. Для современных ракетных двигателей скорость u истечения продуктов сгорания составляет около 3 км/с. Пусть структурная масса на порядок превышает полезную. Тогда максимально достижимая скорость:

 км/с.

Поэтому даже в идеальных условиях одноступенчатая ракета не способна достичь первой космической скорости. Причина этого – затраты топлива на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы.

Рассмотренные выше модели отличаются простотой, связанной с их линейностью – отклик объекта на изменение каких-либо параметров соразмерен величине этого изменения (например, двукратное увеличение скорости истечения продуктов сгорания влечет за собой соответствующее увеличение скорости ракеты).

Для нелинейных моделей знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а отклик объекта на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Большинство реальных процессов и соответствующих им моделей нелинейны; линейные модели служат лишь первым приближением к реальности. Например, модель динамики популяции становится нелинейной, если принять во внимание ограниченность доступных ресурсов. Положим, что существует некоторая равновесная Ne численность популяции, которую может обеспечить окружающая среда, а скорость изменения численности пропорциональна ее величине, умноженной на отклонение от равновесного значения:

.

(1.26)

Частное решение этого уравнения, соответствующее начальному условию , имеет вид

.

Последняя зависимость называется логистической: при любом значении N0 начальной численности ее величина N стремится к равновесному Ne значению, причем тем медленнее, чем ближе численность к этому значению. Поэтому здесь, в отличие от модели (1.24), равновесие устойчиво.

Модель динамики популяции становится нелинейной и в том случае, если коэффициенты рождаемости и смертности переменны. Пусть, например, рождаемость пропорциональна численности; тогда уравнение (1.24) преобразуется к виду

,

(1.27)

где  и  – положительные константы.

Частное решение (1.27) при начальном условии  имеет вид

.

Если , то предэкспоненциальный множитель в знаменателе положителен, и численность монотонно уменьшается, стремясь к нулю. Если , то численность не зависит от времени. Если , то характер решения изменяется: численность растет со временем настолько быстро, что обращается в бесконечность за конечное время

,

тем меньшее, чем больше начальное значение численности.

Модели второго порядка

К дифференциальным уравнениям второго порядка приводят задачи, в которых искомая величина связана со скоростью изменения скорости этой величины.

Вновь обратимся к движению частицы массы m на пружине, точка крепления которой движется по закону . Действующая на частицу сила

направлена к положению равновесия и пропорциональна удлинению пружины.

Пусть также со стороны внешней среды на частицу действует сила трения, пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению:

, .

Найдем закон движения частицы. На основании основного закона динамики:

,

.

Далее производную по времени мы будем обозначать точкой:

, .

Введем обозначения: , , . Закон движения примет вид

.

(1.28)

Неоднородное уравнение (1.28) называется уравнением вынужденных колебаний. Соответствующее однородное уравнение

(1.29)

называется уравнением свободных колебаний. Движение частицы определяется типом корней характеристического уравнения

,

,

которые, в свою очередь, зависят от соотношения массы частицы, силы трения и упругости пружины.

Пусть . Тогда характеристическое уравнения имеет два действительных различных отрицательных корня. Общее решение уравнения свободных колебаний:

;

отклонение монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Если , то характеристическое уравнение имеет один двукратный отрицательный корень . Общее решение:

Отклонение также асимптотически стремится к нулю.

Пусть сила сопротивления отсутствует. Тогда характеристическое уравнение

имеет пару мнимых корней . Закон движения принимает вид

,

или

,

где амплитуда A и начальная фаза  равны

,

Пусть ,  (сила сопротивления незначительна). В этом случае характеристическое уравнение также имеет мнимые корни; обозначая

,

получим

,

.

Последнее уравнение описывает затухающие колебания.

Обратимся к неоднородному уравнению вынужденных колебаний. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

.

Уравнение принимает вид

.

(1.30)

Если трение невелико (, ), то общее решение этого уравнения

.

Первое слагаемое при  стремится к нулю (по истечении достаточно большого промежутка времени свободными колебаниями на собственной частоте  можно пренебречь). Второе слагаемое xr описывает вынужденные колебания. Частота  этих колебаний совпадает с частотой  вынуждающей силы.

Амплитуда A* вынужденных колебаний возрастает с уменьшением трения. Считая амплитуду функцией частоты вынуждающей силы, исследуем ее на экстремум. После всех преобразований:

, при .

Если трение мало, то правая часть последнего равенства близка к единице, и максимальное значение амплитуды достигается при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний. Указанный случай соответствует явлению резонанса: через некоторый промежуток времени амплитуда колебаний частицы возрастает до значений, значительно превышающих амплитуду вынуждающей силы.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.
Математика лекции функции нескольких переменных