Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Понятие о математическом моделировании

Ранее уже было отмечено, что реальность слишком сложна для того, быть предметом исследования в науке. Исследованию доступны лишь модели – умозрительные конструкции, которые должны отражать существенные свойства реального объекта. Замену исходного объекта его идеализированным образом – моделью – и последующее исследование модели называют моделированием. Если модель формулируется в терминах математики, то моделирование называют математическим. Оно сочетает в себе достоинства так экспериментальных, как теоретических методов. Использование моделей позволяет:

– изучить явление с подробностью и глубиной, присущей экспериментальным методам;

– относительно быстро исследовать явление в любых мыслимых ситуациях, в том числе в таких, которые невозможно реализовать экспериментально (когда натурный эксперимент долог, дорог, либо опасен).

Широкое распространение моделирования есть следствие высокой общности моделей, которые основаны на фундаментальных законах природы – законах сохранения массы, энергии, заряда, импульса и момента импульса. Общность выражается в том, что одни и те же модели описывают различные явления. Дифференциальный характер законов приводит к тому, что большинство математических моделей записываются в виде дифференциальных уравнений или систем таких уравнений.

Моделирование является многоэтапным циклическим процессом.

Первый и наиболее сложный этап связан с построением модели. Сложность этого этапа обусловлена тем, что здесь требуется привлечение как средств анализа, так и сведений из конкретной прикладной дисциплины. К модели предъявляется множество требований, из которых важнейшим является требование адекватности – модель должна отражать те характеристики объекта, которые принимаются как существенные.

На втором, наиболее простом этапе, построенная модель исследуется либо точными, либо приближенными (в частности, численными) методами. Сравнительная простота второго этапа математического моделирования обусловлена тем, что задача исследования является формальной, исключительно математической. Сведения из прикладной дисциплины здесь не используются, и для совпадающих по форме моделей совпадают и процедуры анализа.

Применение точных аналитических методов дает решение в конечном виде или, в случае операторных методов, как образ некоторого интегрального преобразования (обычно – преобразования Фурье или Лапласа). Использование приближенных аналитических методов дает решение в виде разложения по функциям от независимой переменной (как правило – в виде степенного ряда или ряда Фурье). Численные методы позволяют получить дискретный набор приближенных значений искомой величины.

Преимуществом аналитических методов является то, что полученное решение оставляет возможность анализа влияния существенных признаков на искомую величину (эти признаки входят в решение как параметры). Однако применение аналитических методов оправдано только тогда, когда модель сравнительно проста и может быть записана в виде одного или двух дифференциальных уравнений. На практике для исследования удобно применять программные пакеты символьной математики. Такие пакеты «самостоятельно» анализируют характер уравнения и дают решение в конечном виде (возможно, что полученное решение будет содержать неэлементарные функции). Рудиментарные средства символьной математики содержаться в пакете Mathcad; для решения сравнительно сложных задач достаточно пакета Maple.

В подавляющем большинстве случаев аналитическое решение не может быть получено или же столь громоздко, что его анализ невозможен. В этой ситуации единственная возможность анализа состоит в применении численных методов; при этом саму процедуру анализа называют вычислительным экспериментом или имитационным моделированием. На практике в процессе исследования можно использовать программные пакеты численного анализа. Как и ранее отметим, что ограниченные возможности численного анализа представлены в пакете Mathcad. Решение сложных задач общего характера часто можно выполнить при помощи пакета MATLAB. Задачи из важных прикладных областей (задачи моделирования механических конструкций, потоков жидкости и газа, электрических цепей и т.д.) решаются при помощи специализированных пакетов численного анализа. Кроме этого остается возможность, пользуясь общедоступным кодом процедур численного решения дифференциальных уравнений, разработать авторское программное обеспечение, предназначенное для решения отдельной задачи.

На третьем этапе результаты анализа интерпретируются в терминах прикладной дисциплины. Здесь дополнительно делаются выводы относительно адекватности модели. Более того, часто адекватность проверяется именно на тестовых задачах – объект искусственно помещается в такие условия, в которых его поведение известно заранее. Если оказывается, что модель приводит к неадекватным результатам, то она должна быть изменена (возврат к первому этапу).

Модели первого порядка

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят задачи, в которых скорость изменения некоторой величины связана с этой величиной. Если эта связь линейная, то исследование модели приводит к экспоненциальной зависимости для искомой величины.

Пример 1.12.1. Радиоактивный распад.

Пусть в начальный момент времени  имеется некоторое количество  распадающегося вещества (здесь под распадом может в равной пониматься как «полное исчезновение» вещества, так и его превращение в другое вещество). Пусть отдельные равные по массе области вещества распадаются независимо друг от друга. Тогда скорость распада будет пропорциональна массе вещества:

,

(1.22)

где коэффициент пропорциональности k – неотрицательная константа, характеризующая скорость распада (знак «–» в уравнении () обусловлен тем, что масса со временем может только уменьшаться).

Разделяя переменные в уравнении (1.22) и интегрируя, получим

,

,

где знаки модуля опущены исходя из физического смысла задачи. Постоянную интегрирования определим из начального условия :

,

.

Окончательно:

.

(1.23)

Из (1.23) следует, что масса вещества монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Время, за которое масса уменьшается в два раза

,

называют периодом полураспада.

Адекватность полученной модели определяется теми соображениями, которые были учтены при ее построении.

Во-первых, было принято, что отдельные области распадаются независимо друг от друга. В действительности это не так – под действием излучений, возникающих в процессе распада, скорость распада возрастает. Поэтому при достижении некоторой критической начальной массы все вещество распадается практически мгновенно с выделением большого количества энергии.

Во-вторых, при построении не был учтен дискретный характер вещества. Это приводит к парадоксальным выводам: от одного атома через период полураспада останется «половина», через два периода – «четверть», и т.д. На самом деле период полураспада следует понимать как время, за которое атом распадается в вероятностью ; удвоенный период – как время, за которое атом распадается в вероятностью , и т.д.

Аналогичная (1.23) зависимость возникает весьма часто и обычно носит специальное название. Например, в задаче о поглощении излучения веществом она носит название закона Бугера–Ламберта; аналогом периода полураспада в этом законе является толщина слоя половинного поглощения.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.
Математика лекции функции нескольких переменных