Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

 Уравнение касательной плоскости:

 Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

 Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции   при x = 1, y = 2, z = 1.

 Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

 Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

 Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Частные производные высших порядков

 Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

 Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Экстремум функции нескольких переменных

 Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой максимума.

  Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой минимума.

  Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

 Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

  Теорема. (Достаточные условия экстремума).

 Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

 - максимум, если  - минимум.

Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум

  Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

 Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

 Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

 =0 

 (1)

Кроме того:

 

  (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

 Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

 Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

  Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

 Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

 Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.
Математика лекции функции нескольких переменных