Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

  Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

 Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

 Аналогично определяется частная производная функции по у.

 Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал

 Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

  Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

 

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

 Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

 Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

 Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

 Для функции произвольного числа переменных:

 Пример. Найти полный дифференциал функции .

 Пример. Найти полный дифференциал функции

Геометрический смысл полного дифференциала

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 касательная плоскость

 Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

  Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

 В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

 Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.

 Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

 Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

 Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Неотрицательные матрицы, положительные матрицы. Разложимые и неразложимые матрицы. Теорема Перрона - Фробениуса о наибольшем действительном положительном собственном значении. Круги Гершгорина и собственные значения матрицы. Граф матрицы. Стохастические матрицы. Обратно-симметричные матрицы, сильно-транзитивные матрицы. Методы определения разложимости и неразложимости матрицы. Алгебраические и итеративные методы нахождения собственного вектора, соответствующего наибольшему положительному собственному значению. Некоторые матрицы специального вида.
Математика лекции функции нескольких переменных