Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Частные производные функции нескольких переменных

 Определение. Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения  по  к приращению  при стремлении  к нулю (если он существует)

 

 Аналогично,

 

Заметим, что  вычисляется при неизменном , а

при неизменном , поэтому частной производной по  от функции  называется производная по , вычисленная в предположении, что  - постоянная.

 Частной производной по  от функции  называется производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная. 

 Физический смысл частной производной -это скорость изменения функции в точке   в направлении оси , а – скорость изменения функции в точке  в направлении оси .

 Примеры.

Найти частные производные функций:

1). Решение. Вычислим  в

предположении, что  имеет фиксированное значение:

. При вычислении  считаем  имеет фиксированное значение:

2) , . Решение. При вычислении частной

производной функции  по аргументу  рассматриваем

функцию   как функцию только одной переменной , то есть считаем, что  имеет фиксированное значение. При фиксированном  функция  является степенной функцией аргумента . По формуле дифференцирования степенной функции получаем Аналогично, при вычислении частной производной  считаем, что фиксировано значение , и рассматриваем функцию как показательную функцию аргумента . Получаем

 Упражнения для самостоятельной работы:

Найти частные производные следующих функций:

а) б) в)

г) д)  е)

ж) з)  и) к)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

 Обозначим через  плоскую кривую, полученную при пересечении поверхности  плоскостью  Пусть касательная к кривой  в точке  образует угол  с положительным направлением оси .Тогда  Аналогично, обозначим через - сечение поверхности  плоскостью , - угол, образованный осью  и касательной к кривой в точке . Тогда  Таким образом, частная производная в точке  численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке  к кривой, полученной при пересечении поверхности  плоскостью  Частная производная в точке  численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке  к кривой, полученной при пересечении поверхности  плоскостью

 7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО

 ПОРЯДКА В СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ.

 Частные производные находят широкое применение в физике при исследовании различных скалярных и векторных полей (температурного, гравитационного, электромагнитного, электростатического и т.д.).

I.Определение. Градиентом скалярного поля  называется вектор-функция

 

Вектор   в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке, а  есть скорость роста функции в этом направлении.

 Определение. Векторное поле  называется потенциальным в области , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля :

 Примеры.

 1). Рассмотрим поле тяготения точечной массы , помещенной в начале координат. Оно описывается вектор-функцией  (-гравитационная постоянная,

 , ). С такой силой действует это поле на единичную массу, помещенную в точку . Поле тяготения является потенциальным. Его можно представить как градиент скалярной функции , называемой ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы . Действительно,   Аналогично  откуда

 

 2)Рассмотрим электрическое поле точечного заряда ,

помещенного в начале координат. Оно описывается в точке  вектором напряженности

(, ).

 Докажите, что поле потенциально и его можно представить в виде  Функция   называется потенциалом электрического поля точечного заряда .

 Поверхности уровня потенциала  называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

  3)Найти градиент скалярного поля  в точке

 Ответ:{12,-8,-6}.

 4)Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках  и  

 Ответ:

  II.Определение. Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

  .

Слово «дивергенция» означает «расходимость» («расхождение»). Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

 Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если в этой области  Так как  характеризует плотность источников поля , то в той области, где поле  соленоидально, нет источников этого поля.

Производные и дифференциалы. Методы интегрирования. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Генеральная и выборочная совокупности. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
Математика лекции функции нескольких переменных