Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

 Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

  Пример. Найти предел

 Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

 Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

 Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

Некоторые замечательные пределы

, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, 

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел 

Второй замечательный предел 

 Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

 Пример. Найти предел.

 Пример. Найти предел.

 

 Пример. Найти предел.

 Пример. Найти предел .

 Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

 Пример. Найти предел.

 домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

 

Пример. Найти предел.

 Пример. Найти предел .

 Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1

 x3 – x2 x2 – 5x + 6

 - 5x2 + 11x

 - 5x2 + 5x

 6x - 6

 6x - 6 0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

 Пример. Найти предел.

 - не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

Неотрицательные матрицы, положительные матрицы. Разложимые и неразложимые матрицы. Теорема Перрона - Фробениуса о наибольшем действительном положительном собственном значении. Круги Гершгорина и собственные значения матрицы. Граф матрицы. Стохастические матрицы. Обратно-симметричные матрицы, сильно-транзитивные матрицы. Методы определения разложимости и неразложимости матрицы. Алгебраические и итеративные методы нахождения собственного вектора, соответствующего наибольшему положительному собственному значению. Некоторые матрицы специального вида.
Математика лекции функции нескольких переменных