Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

 Примеры.

Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

,

следовательно, . Функция непрерывна.

Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, где

знаменатель дроби равен нулю: , то есть функция не определена на прямой  В остальных точках плоскости функция определена и непрерывна. Множество точек разрыва данной функции есть прямая   Отметим, что в любой точке  , лежащей на прямой  и не совпадающей с точкой  (т.е. ), существует предел функции  Поэтому точки  при можно назвать точками устранимого разрыва: если положить , то функция станет непрерывной в точке . В точке   имеем

 ,

то есть - точка неустранимого разрыва данной функции.

Исследовать на непрерывность в точке  функцию

 

Решение. Применяя известную формулу для разности

косинусов, запишем

функцию  в виде  Так как

  то функция 

 непрерывна в точке .

 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 

Найти точки разрыва следующих функций:

а)   б)  в)  ;

г)   д) ; е)  

 ж)

Ответ: . а)О(0,0); б) все точки окружности ; в)

все точки конической поверхности ; г) все точки прямой ; д) все точки прямых ; е) все точки прямых ; ж) все точки сфер .

Производные и дифференциалы. Методы интегрирования. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Генеральная и выборочная совокупности. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
Математика лекции функции нескольких переменных