Алгебра | |||
Задачи | |||
Физика | |||
Реактор | |||
Пример. Найти скалярное произведение векторов
и
, если
(
)(
) =
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением векторов
и
называется вектор
, удовлетворяющий следующим условиям:
1)
, где j - угол между векторами
и
,
2) вектор
ортогонален векторам
и
3)
,
и
образуют правую тройку векторов.
Обозначается:
или
.
Свойства векторного произведения векторов:
1)
;
2)
, если
ïï
или
= 0 или
= 0;
3) (m
)´
=
´(m
) = m(
´
);
4)
´(
+
) =
´
+
´
;
5) Если заданы векторы
(xa, ya, za) и
(xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами
, то
´
=
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
.
Пример. Найти векторное произведение векторов
и
.
= (2, 5, 1);
= (1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),С(0, 1, 0).
![]()
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы
,
и
компланарны.
, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
, если
(ед2).
Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением векторов
,
и
называется число, равное скалярному произведению вектора
на вектор, равный векторному произведению векторов
и
.
Обозначается
или (
,
,
).
Смешанное произведение
по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами
,
и
, равен
6)Если
,
, то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Объем пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн =
(ед2)
Т.к. V =
;
(ед)
Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора
-вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы
были компланарны.
(
) = 0
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор
.
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору
.
Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.
(
) = 0
Уравнение плоскости:
![]()
Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.
|