Пример. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
()() = 
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением векторов
и 
называется вектор 
, удовлетворяющий следующим
условиям:
1) 
, где j - угол
между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается:
или
.
Свойства векторного произведения векторов:
1)
;
2) 
, если ïï или = 0 или = 0;
3) (m)´= ´(m) = m(´);
4) ´(+ ) = ´+ ´ ;
5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат
с единичными векторами 
, то
´=
6) Геометрическим смыслом векторного
произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах
и .
Пример. Найти векторное произведение
векторов 
и
.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы 
, 
и 
компланарны.
, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
,
если 
(ед2).
Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению
вектора на вектор, равный векторному произведению векторов
и .
Обозначается 
или (, ,).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного
на векторах , и .
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами
, и , равен
6)Если 
, 
, то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты
векторов: 
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Объем пирамиды 
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = 
(ед2)
Т.к. V = 
; 
(ед)
Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты
вектора 
-вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того,
чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2,
М3 необходимо, чтобы векторы 
были компланарны.
(
) = 0
Таким образом, 
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2,
z2) и вектор 
.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку
М(х, у, z) параллельно вектору .
Векторы 
и вектор должны быть компланарны, т.е.
(
) = 0
Уравнение плоскости:
