Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Система координат

 Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат

 Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор  назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

 Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

  Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

 Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

 Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

  Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы ,  и образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

 Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

 линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

 

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 =

;

D2 =

D3 =

Итого, координаты вектора в базисе , ,  { -1/4, 7/4, 5/2}.

 Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

 Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

 В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Линейные операции над векторами в координатах

 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Скалярное произведение векторов

 Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

  Свойства скалярного произведения:

× = ïï2;

× = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

× = ×;

×(+) = ×+ ×;

(m)× = ×(m) = m(×); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = xa xb + ya yb + za zb;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

.

 

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

 т.к. .

 

 Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

 Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

 Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

 Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.
Математика лекции функции нескольких переменных