Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Решение произвольных систем линейных уравнений

 Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

 Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

 

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

 Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

 Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

 Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А*=  называется расширенной матрицей системы

 Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

 К элементарным преобразованиям относятся:

 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

 2)Перестановка уравнений местами.

  3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли

(условие совместности системы)

 Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

 Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~  RgA = 2.

A* =  RgA* = 3.

 Система несовместна.

 Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

 А = ;  = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

 RgA* = 2.

 Система совместна. Решения: x1 = 1;  x2 =1/2.

Метод Гаусса

 В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

 Рассмотрим систему линейных уравнений:

 Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

  и т.д.

Получим:

, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

 Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.
Математика лекции функции нескольких переменных