Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Криволинейные интегралы II типа

Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная точка М, двигаясь прямолинейно под действием постоянной силы  совершает перемещение . Работой А, производимой этой силой, называется скалярное произведение вектора силы  на вектор перемещения :

.

Если в каждой точке М области (P) определена сила, величина и направление которой зависят только от приложения точки М, то говорят, что на области (P) задано силовое поле.

Пусть материальная точка М движется по кривой ВС, лежащей в области (P) под действием силового поля.

Задача. Определить работу А силового поля при перемещении материальной точки из точки В в точку С по кривой.

Разобьем кривую ВС произвольными точками , взятыми по направлению от В к С, на n частичных дуг. На каждой частичной дуге  выберем произвольно точки . На частичной дуге  заменим приближенно переменную силу  постоянной силой , равной вектору силы  в точке . А движение материальной точки по этой дуге заменим ее движением по хорде  этой дуги. Выполним это все . В результате приближенных замен имеем:

1) материальная точка движется по ломаной, вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене ломаной на материальную точку действует постоянная сила.

Работа силы  на хорде  равна

.

Суммируя по , получим

, (1)

 - работа ступенчатой силы при движении материальной точки по ломаной , вписанной в кривую ВС. Эту работу считают приближением искомой работы А силы  при перемещении материальной точки по кривой ВС: .

Пусть ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть   - длина , . Переходя в (2) к , получим точное равенство:

.  (3)

2. Определение криволинейного интеграла II типа

Пусть в плоскости  задана спрямляемая кривая  и вдоль нее определена функция f(x;y). Кривую  разобьем произвольно на   частей точками , . На каждой частичной дуге  выберем произвольную точку . Обозначим через Dxk и Dуk проекции дуги  на оси координат, Dxk=xk -xk-1, Dyk=yk-yk-1. Разбиение обозначим через . Составим сумму

.  (4)

(4) – интегральная сумма для функции f(x;y) на кривой AB по координате x. Пусть ,  - длина частичной дуги .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы  при , если  выполнено . Обозначается: .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы  при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f(x;y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.

Обозначается: .

Таким образом, .

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x;y) по координате y, взятый по кривой AB:

.

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.

Если вдоль кривой AB две функции P(x;y) и Q(x;y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:

.

Физический смысл криволинейного интеграла II типа

Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида

,

то есть выражает работу силы  по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.

Замечание 1. Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB=[a;b] оси Ox. Тогда f(x;y)=f(x;0)=F(x). Поэтому на [a;b]

.

В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F(x) на [a;b]. Переходя к , получим

.

Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [c;d] оси Oy, то , где F(y)=f(0;y), yÎ[c;d].

Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах  изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f(x;y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

,

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.

Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода:

  или .

3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа

1º. Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функция kf также интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

2º. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция f±g интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

3º. (Аддитивность)

Для любой точки C кривой AB, если  интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривых AС и СВ и

.

4º. Если функция  интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривой ВА, причем

.

5º. Если  интегрируема по замкнутому контуру L, то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную:.

Действительно, из рисунка видно

.

6º. Если область (P), ограниченную замкнутым контуром L разделить на две области (P1) и (P2), ограниченные контурами L1 и L2 соответственно, то интеграл в некотором направлении по кривой L равен сумме интегралов по контурам L1 и L2 в том же направлении:

.

Доказательство.

.

Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и n-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций.
Математика лекции функции нескольких переменных