Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Найти точки локального экстремума функции .

 Решение. Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычислим ее частные производные и приравняем их нулю

 

 Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума:. Далее воспользуется достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции

 

  Значения этих частных производных в точке

являются коэффициентами - квадратичной формы от

переменных  Матрица этой квадратичной формы

имеет вид

  .

 Вычисляя главные миноры матрицы , получаем

 

Согласно критерию Сильвестра,  является положительно определенной квадратичной формой от переменных . Следовательно, в точке  функция имеет локальный минимум.

 Исследуем теперь точку . Матрица квадратичной формы  имеет вид

 .

Отсюда получаем:

 

Следовательно,  не является знакоопределенной квадратичной формой от   Не трудно видеть, что эта квадратичная форма- знакопеременная. Следовательно, в точке  функция не имеет локального экстремума.

  Упражнения для самостоятельной работы.

 1.Найти точки локального экстремума следующих функций двух переменных:

а)   б)  в)

г)   д)

 Ответ:а)б) точек экстремума нет;

в)   г)

д)

 2.Найти точки локального экстремума следующих функций трех переменных:

а)  

б)

 в)

г) д)

е)

  Ответ:а)

б) в)

г)   д)

е)

21.УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

  Рассмотрим функцию

  (1)

при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой  соотношениями :

  (2)

Эти соотношения называются условиями связи.  Пусть

координаты точки  удовлетворяют уравнениям

(2).

 Определение. Функция (1) имеет в точке  условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки  () этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство .

 Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке  по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

 Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из  уравнений условий связи  переменных выражают через остальные  переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию  и решают задачу об экстремуме функции  переменных.

 Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции   при условиях связи

 

 Решение. Из условий связи находим . Подставляя найденные  в функцию, приходим к функции одной переменной  : , для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как  при , то функция  имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку   в точке  функция  имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения : . Итак, функция  при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем

 Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме

функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа

,

   (- называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума

выражаются системой  уравнений :

  (3)

относительно  неизвестных . Если  - решение системы (3), то  является точкой возможного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа

  .

Для каждой системы значений , полученной из (3) при условии, что  удовлетворяют уравнениям

  (4) 

при

  Функция  имеет условный максимум

в точке , если для всевозможных значений

, удовлетворяющих условиям (4) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство (квадратичная форма отрицательно  определена) и условный минимум, если при этих условиях  (квадратичная форма положительно определена) то в точке  функция (1) имеет условный минимум при условии связи (2), если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке  функция (1) не имеет

условного экстремума.

Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и n-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций.
Математика лекции функции нескольких переменных