Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика лекции Линии и поверхности уровня Вычислить частные производные функции Криволинейные интегралы Задача о массе кривой Задача о работе плоского силового поля Найти предел Производная по направлению Движение в вязкой среде

Пример. Найти точки локального экстремума функции .

 Решение. Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычислим ее частные производные и приравняем их нулю

 

 Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума:. Далее воспользуется достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции

 

  Значения этих частных производных в точке

являются коэффициентами - квадратичной формы от

переменных  Матрица этой квадратичной формы

имеет вид

  .

 Вычисляя главные миноры матрицы , получаем

 

Согласно критерию Сильвестра,  является положительно определенной квадратичной формой от переменных . Следовательно, в точке  функция имеет локальный минимум.

 Исследуем теперь точку . Матрица квадратичной формы  имеет вид

 .

Отсюда получаем:

 

Следовательно,  не является знакоопределенной квадратичной формой от   Не трудно видеть, что эта квадратичная форма- знакопеременная. Следовательно, в точке  функция не имеет локального экстремума.

  Упражнения для самостоятельной работы.

 1.Найти точки локального экстремума следующих функций двух переменных:

а)   б)  в)

г)   д)

 Ответ:а)б) точек экстремума нет;

в)   г)

д)

 2.Найти точки локального экстремума следующих функций трех переменных:

а)  

б)

 в)

г) д)

е)

  Ответ:а)

б) в)

г)   д)

е)

21.УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

  Рассмотрим функцию

  (1)

при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой  соотношениями :

  (2)

Эти соотношения называются условиями связи.  Пусть

координаты точки  удовлетворяют уравнениям

(2).

 Определение. Функция (1) имеет в точке  условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки  () этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство .

 Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке  по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

 Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из  уравнений условий связи  переменных выражают через остальные  переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию  и решают задачу об экстремуме функции  переменных.

 Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции   при условиях связи

 

 Решение. Из условий связи находим . Подставляя найденные  в функцию, приходим к функции одной переменной  : , для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как  при , то функция  имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку   в точке  функция  имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения : . Итак, функция  при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем

 Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме

функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа

,

   (- называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума

выражаются системой  уравнений :

  (3)

относительно  неизвестных . Если  - решение системы (3), то  является точкой возможного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа

  .

Для каждой системы значений , полученной из (3) при условии, что  удовлетворяют уравнениям

  (4) 

при

  Функция  имеет условный максимум

в точке , если для всевозможных значений

, удовлетворяющих условиям (4) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство (квадратичная форма отрицательно  определена) и условный минимум, если при этих условиях  (квадратичная форма положительно определена) то в точке  функция (1) имеет условный минимум при условии связи (2), если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке  функция (1) не имеет

условного экстремума.

Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и n-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций.
Математика лекции функции нескольких переменных