Математика дифференциальные уравнения

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

 

Неопределенный и определенный интегралы

Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала

Пример. Найти интеграл

Найти интеграл . Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

Найти интеграл . Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Интегрирование иррациональных функций

Геометрический смысл определенного интеграла Формула Ньютона–Лейбница

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Приложения определенного интеграла Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .

Задача 5. Вычислить . Решение. Выполним замену переменной

Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Исследовать на сходимость ряд  

Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции .

Понятие о математическом моделировании Ранее уже было отмечено, что реальность слишком сложна для того, быть предметом исследования в науке. Исследованию доступны лишь модели – умозрительные конструкции, которые должны отражать существенные свойства реального объекта. Замену исходного объекта его идеализированным образом – моделью – и последующее исследование модели называют моделированием. Если модель формулируется в терминах математики, то моделирование называют математическим. Оно сочетает в себе достоинства так экспериментальных, как теоретических методов

Динамика популяции. Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.

Начертательная геометрия в конструкторской работе