Математика лекции функции нескольких переменных

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

Линии и поверхности уровня В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение

  Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

  Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Пример. Вычислить частные производные функции 

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области

Пример. Найти точки локального экстремума функции .

Методом Лагранжа найти экстремум функции  при условиях связи

Наибольшее и наименьшее значение функции Если функция  дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

 

Криволинейные интегралы Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Задача о массе кривой Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа.

Криволинейные интегралы II типа Задача о работе плоского силового поля

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пример. Вычислить   вдоль кривой: 1) y=x, 2) y=x2, 3) y=x3.

Начертательная геометрия в конструкторской работе