Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

ПРИМЕР. Решить 

Решение. Чтобы найти частное решение, нужно найти  и реализовать НУ. Согласно теореме . ОЛДУ решено ранее (см. пример 11), ,
поэтому ,  – ФСР ОЛДУ.

Найдем   методом вариации произвольных постоянных, т.е. , где  .

Подчеркнем тот факт, что метод вариации произвольных постоянных изложен для приведенного ОЛДУ (коэффициент  перед  равен единице, ).

Систему относительно  и  удобно решать методом Крамера*: ,

;

поэтому  и ;

;

  и

.

Окончательно получаем

  или  (здесь слагаемое ,  – произвольная постоянная, "поглощает" слагаемое ). Видим, что  можно было угадать (подобрать) с существенно меньшими выкладками.

Совокупность функций , , является решением СДУ (1), если подстановка их в уравнение (1) превращает каждое уравнение в тождество на . Очевидно, что решение СДУ должно состоять из непрерывных и соответствующее раз дифференцируемых на  функций , , . Всякая СДУ, как правило, имеет бесконечное множество решений.

Например, (*)  – СДУ третьего порядка записана в общем виде; ее решение .

Если СДУ в общем виде (1) может быть разрешена относительно старших производных неизвестных функций

,  (2)

то полученное представление СДУ в виде (2) называется канонической формой записи СДУ. Например, СДУ (*) может быть представлена в канонической форме:

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

. (3)

Если СДУ задана в канонической форме, то ее можно записать в нормальной форме, обозначив производные искомых функций через дополнительные неизвестные функции.

Например, обозначая , СДУ (*) можно записать в
виде   – нормальная форма записи СДУ.

Всякую СДУ в нормальной форме удобно представлять векторно-дифференциальным уравнением

,  (4)

где   есть вектор из неизвестных функций;   – вектор производных неизвестных функций,  – вектор-функция правых частей СДУ (3). Заметим, что независимую переменную  можно рассматривать как время и обозначать дифференцирование по
времени через .

ПРИМЕР 1. Привести к нормальной форме записи систему, состоящую из одного дифференциального уравнения

.

Решение. Обозначим ; ;  , .
Тогда ДУ запишется в виде , получаем СДУ в нормальной форме

  или ,

где ;

.

Итак, ДУ -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, эквивалентно СДУ в нормальной форме, состоящей из  ДУ (порядок СДУ в нормальной форме совпадает с количеством ДУ в ней).

Правила дифференцированияПриведем основные правила для нахождения производной: Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть u(x)± v(x))' = u'(x)± v'(x). Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть (u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Постоянный множитель можно выносить за знак производной:


Курс электрических цепей

Радиосигналы
История искусства
Основы конструирования
Энергосбережение