Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Типовые задачи

1) Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной
функции.

Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для
определенного интеграла:

.

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле проводится соответственно следующей теореме.

Теорема (о замене переменной в определенном интеграле)

Пусть функция  определена и непрерывна на ;
функция ,  удовлетворяет условиям:

1)   ; причем , ;

2)   ;

3)   на , т.е. функция  обратима на  – существует обратная функция , :  на ;  на .

Тогда

,

где  – какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Заметим, что если  на  при выполнении остальных условий и , , то пределы интегрирования по  следует поменять местами.

Доказательство. Рассмотрим интеграл  –
интеграл с переменным верхним пределом – сложная функция от

,

т.е. действительно функция  – первообразная для , поэтому

.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием  на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).

Курс электрических цепей