Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Дифференцирование неявно заданной функции

Если 1)   – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) ,  – непрерывные функции в ; 3), ,

то уравнение  определяет на некотором интервале однозначную непрерывную неявно заданную функцию  такую, что  на ; ;

в   существует производная этой функции

.

Аналогичные утверждения имеют место и для ФНП. Например, уравнение   задает неявно функцию  в
некоторой окрестности точки , если: 1)   – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) все частные производные функции  – непрерывные функции в ; 3) , .

При этом снова, не зная явного выражения для функции , можно вычислить ее частные производные, например,
по формулам .

Приближенное представление для неявно заданной функции в  можно получить, применяя формулу Тейлора.

ПРИМЕР 1. Проверить, что уравнение  в окрестности точки  задает неявно функцию . Найти приближенно явное представление этой функции, используя формулу
Тейлора при .

Решение. Условия существования неявно заданной функции выполнены: 1) функция   непрерывна на плоскости ; 2) ее частные производные  и  также всюду непрерывны; 3) , . Поэтому рассматриваемое уравнение в окрестности точки  задает функцию  неявно, причем ; и существует производная ее

.

Заметим, что вовсе необязательно находить  по формуле, иногда удобнее дифференцировать тождество  и из получающегося уравнения относительно  найти значение этой производной. Например, в нашем случае для тождества  имеем

,

отсюда находим ; естественно, что результат совпадает с ранее полученным.

Для нахождения приближенного явного выражения

надо вычислить ,  и . Снова дифференцируем по  тождество, связывающее ,  и , получаем

.

Подставляя в это тождество (по ) значения , , , вычисляем .

Итак, в некоторой окрестности  

.

Погрешность приближения определяется качественно отбрасываемым остаточным членом формулы Тейлора .

ПРИМЕР 2. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Решение. Можно применить формулы для  и , но в данном случае проще продифференцировать тождество, соответствующее уравнению, сначала по  (), а затем по ().
Получим 1) , откуда  и ; аналогично

2)   и отсюда .

Для нахождения производной  дифференцируем еще раз по  первое тождество (), получаем

  или , отсюда  и .

Аналогично вычисляются другие частные производные второго и большего порядка.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти , если .

2. Найти приближенное представление неявно заданной функции уравнением   в окрестности точки  до второго
порядка включительно.

3. Для функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки , найти .

4. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов первого порядка включительно функцию ,
заданную неявно уравнением  в
окрестности точки .

Ответы. 1. .

2. .

3. , , , , .

4. .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие производной Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+D t количество продукции изменится от u(t0) до u0+D u = u(t0+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t0 z = limD t® 0D u/D t. Определение 1(производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел limD x® 0D y/D x при условии существования этого предела.

Курс электрических цепей