Дифференциалы от функции нескольких переменных

Детали машин принципы проектирования
Основы конструирования
Начертательная геометрия
Аксонометрия и проекции
Теория радиосигналов
Расчет электротехнических цепей
Электротехника и электроника
Математика задачи
Математика функции
Линейная алгебра
Дифференциальные уравнения
Теория функции комплексного переменного
Решение задач типового задания из учебника Кузнецова
Математический анализ задачи
Вычислить интеграл
Решение рядов
Дифференциалы от функции нескольких переменных
Лабораторные физика
Физика атома
Цепная ядерная реакция деления
Проблемы развития атомной энергетики
Биологическое действие
ионизирующих излучений
Квантовая механика
Электромагнетизм
Закон полного тока для магнитного поля
Магнитное поле в веществе
Явление самоиндукции
Теория Максвелла для
электромагнитного поля
Физические основы механики
Закон сохранения импульса
Принцип реактивного движения
Кинетическая и потенциальная энергии
Колебательное движение
Волновые процессы
Изучение движения маятника Максвела
Молекулярная физика
Барометрическая формула
Второе начало термодинамики
Кинетическая теория газа
Поверхностноенатяжение жидкости
История искусства
Русское искусство
Античный театр Древней Греции
Театр эпохи Возрождения
Театр эпохи Возрождения
Балетный театр
История искусства средних веков
Романское искусство
Искусство Южной Италии
Готическое искусство
Оптика
Оптическая физика
Электричество
Постоянный ток
Быстрый реактор
Курсовой проект реактор ВВЭР
Курсовой проект «Электрическая часть
электростанций и подстанций»
Действие радиации на человека
и окружающую среду
Лабораторные работы по информатике
Информационные технологии
Технологии защиты информации

Функция нескольких переменных ПРИМЕР . Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции.

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции. ПРИМЕР. Доказать по определению .

Найти повторные пределы функции  при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

Показать, что функция  непрерывна в точке  по каждой координате   и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Найти частные производные первого порядка функции  в точке .

Дифференцируемость ФНП Показать по определению дифференцируемость функции   в произвольной точке .

Дифференциалы высших порядков ФНП Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной ПРИМЕР. Разложить функцию  в окрестности точки   по формуле Тейлора при .

Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Проверить, что уравнение  в окрестности точки  задает неявно функцию . Найти приближенно явное представление этой функции, используя формулу Тейлора при .

Дифференцирование неявно заданной функции Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Локальный экстремум ФНП Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум . Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум

Абсолютный экстремум ФНП Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной

Интегрирование функций нескольких переменных

Некоторые свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Объем цилиндрического тела ПРИМЕР. Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями  и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычисление тройных интегралов ПРИМЕР. Найти среднее значение функции  на фигуре, ограниченной поверхностями  и .

Вычисление криволинейных интегралов 1 рода ПРИМЕР. Вычислить интеграл , если  , , . Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

Механические приложения ПРИМЕР. Вычислить массу дуги   при   – линейной плотности распределения массы по дуге .

Зададим область  примера 1, проектируя ее на ось ,  Вычислить повторный интеграл .

Вычисление двойных интегралов ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл , где область   ограничена эллипсом .

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида Показать, что система степенных функций  – линейно независимая на   система функций.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

ПРИМЕР. Решить  Решение. Чтобы найти частное решение, нужно найти  и реализовать НУ.

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решение ПРИМЕР .  – СДУ в нормальной форме второго порядка в пространстве переменных  задает поле направлений . Легко проверить, что вектор функция  является решением системы на . Ему соответствует интегральная кривая ,  в  – годограф , .

ПРИМЕР. Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Системы линейных ДУ Рассмотренные в п. 3 приемы решения СДУ применимы к системам как линейных, так и нелинейных ДУ, но все они эффективны лишь для систем невысокого порядка (). Для СДУ большего порядка построена теория систем линейных дифференциальных уравнений (сокр. СЛДУ), причем теория СЛДУ во многом аналогична теории линейных ДУ.

ПРИМЕР . Решить СОЛДУ . Решение. Для матрицы  собственные значения – корни характеристического уравнения

Найти область определения функции y=arcsin;

Построить графики функций График функции, заданной параметрически, должен быть построен в декартовой системе координат (x, y) на плоскости. Изображаются точки с координатами x(t), y(t). Методы построения: 1) использование свойств функций x(t) и y(t) и вычисление их значений при некоторых значениях параметра t; 2) исключение параметра t с целью получения зависимости вида x = x(y) или y = y(x)

Введение в математический анализ Вычислить пределы

Найти производную показательно-степенной функции y=.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

С помощью дифференциала функции вычислить приближённо  при x = 7,76.

Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x  x0)3): f(x)=sin(ex  1), x0 = ln .

Провести полное исследование поведения функции и построить её график: y =

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Найти объем тела , ограниченного поверхностями

Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела .

Вычислить работу силы   при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

Найти производную функции

Производная произведения функций Найти производную функции

Начертательная геометрия в конструкторской работе